Approximation d'un mesurable par des ouverts

Bonjour.

Je n'ai pas d'idée pour le 1, mais pour le 2, que penses-tu de $E=\mathbb R$ et de $A=\mathbb Q$ ?

Cordialement.

Salut, pour 2 tu peux essayer $A_{n} = \{y \in E \mid d(x, A) > \frac{1}{n}\}$.

Ah. Pardon alors. Erratum comme on dit.

On peut définir une hiérarchie (hiérarchie borélienne) comme suit (je simplifie les notations): $\Sigma_0$ ce sont les ouverts, $\Pi_0$ les fermés. Une réunion dénombrable d'éléments de $\Pi_n$ est un $\Sigma_{n+1}$ et une intersection dénombrable de $\Sigma_n$ est un $\Pi_{n+1}$.
On peut continuer cette définition dans le transfini en disant que pour un ordinal limite $\alpha$, un $\Pi_\alpha$ est un élément d'un $\Pi_\beta, \beta <\alpha$ (et en gardant la même définition pour les successeurs).

Il est assez facile de voir dans le cas de $\mathbb{R}$ (d'espaces polonais plus généralement) que cette hiérarchie s'arrête au plus tard à $\omega_1$, i.e. tout borélien est un $\Sigma_{\omega_1}$ (et un $\Pi_{\omega_1}$). Ce qui est plus compliqué à voir (mais qui est vrai) c'est que ça ne s'arrête pas avant : si $\alpha<\omega_1$, il existe des boréliens qui sont $\Sigma_{\alpha+1}$ mais pas $\Sigma_\alpha$ (de même pour $\Pi$).

En particulier pour $E=\mathbb{R}$ (ou un polonais), il existe des boréliens qui ne sont ni réunion dénombrable de fermés ($\Sigma_1$) ni intersection dénombrable d'ouverts ($\Pi_1$) .

En l'occurrence, la réponse de gerard0 suffit, mais ça montre qu'en fait il y a plein d'exemples où 1. et 2. sont (très) faux; et puis c'est un peu de culture

@mojojo: pourquoi vouloir se priver de Baire ?

Euh ...Mojojo,

les ouverts de $\mathbb R$ contenant $\mathbb Q$ ne sont pas nombreux, il n'y a que $\mathbb R$. Donc pas de convergence vers $\mathbb Q$.

Cordialement.

Maxtimax,

Tu as raison, j'ai été trop vite.

Cordialement.