Suite d'ensembles compacts
Bonjour,
J'ai cet exercice: Soit $E$ un espace séparé , $\{K_n\}$ une suite décroisante d'ensemble compacts non vide de $E$ posant $K=\bigcap_{n\in \mathbb{N}} K_n$ et soit $\Omega$ un ouvert
Montrer que $$K\subset \Omega\Rightarrow \left[\exists n_0\in\mathbb{N}, \forall n\in\mathbb{N}, n\geq n_0\Rightarrow K_n\subset \Omega\right]$$
J'ai pensé procéder par l'absurde:
Supposons que $K\subset \Omega$ et que $\forall n_0\in \mathbb{N}, \exists n\in \mathbb{N}, n\geq n_0~\text{et}~ K_n\not\subset \Omega$
cela veut dire qu'il existe $x\in K_n$ et $x\in E\setminus \Omega $
Comment continuer ?
Merci
J'ai cet exercice: Soit $E$ un espace séparé , $\{K_n\}$ une suite décroisante d'ensemble compacts non vide de $E$ posant $K=\bigcap_{n\in \mathbb{N}} K_n$ et soit $\Omega$ un ouvert
Montrer que $$K\subset \Omega\Rightarrow \left[\exists n_0\in\mathbb{N}, \forall n\in\mathbb{N}, n\geq n_0\Rightarrow K_n\subset \Omega\right]$$
J'ai pensé procéder par l'absurde:
Supposons que $K\subset \Omega$ et que $\forall n_0\in \mathbb{N}, \exists n\in \mathbb{N}, n\geq n_0~\text{et}~ K_n\not\subset \Omega$
cela veut dire qu'il existe $x\in K_n$ et $x\in E\setminus \Omega $
Comment continuer ?
Merci
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Réponses
Que peux-tu dire de la nature topologique des $K_n\setminus \Omega$ ?
La nature de $K_n\setminus \Omega$ est un fermé dans le compact $K_n$ donc compact.
Mais est-ce que c'est vrai ? Sous quelle hypothèse ?
Je sais que dans une espace compact une famille décroissante de fermé non vide est d'intersection non vide
et je sais que dans un espace séparé une famille décroissante de compact non vide est d'intersection non vide
Qu'est-ce que $\bigcap_n (K_n\setminus \Omega)$ ?
$\bigcap_n(K_n\setminus\Omega) = \emptyset$
Je supposais qu'il cherchera certainement pourquoi.
Merci.