Suite d'ensembles compacts

Topotopo · June 2018

Bonjour,

J'ai cet exercice: Soit $E$ un espace séparé , $\{K_n\}$ une suite décroisante d'ensemble compacts non vide de $E$ posant $K=\bigcap_{n\in \mathbb{N}} K_n$ et soit $\Omega$ un ouvert

Montrer que $$K\subset \Omega\Rightarrow \left[\exists n_0\in\mathbb{N}, \forall n\in\mathbb{N}, n\geq n_0\Rightarrow K_n\subset \Omega\right]$$

J'ai pensé procéder par l'absurde:

Supposons que $K\subset \Omega$ et que $\forall n_0\in \mathbb{N}, \exists n\in \mathbb{N}, n\geq n_0~\text{et}~ K_n\not\subset \Omega$

cela veut dire qu'il existe $x\in K_n$ et $x\in E\setminus \Omega $

Comment continuer ?

Merci

Maxtimax · June 2018

Que penser de la suite $K_n\setminus \Omega$ ?

Topotopo · June 2018

décroissante aussi

Topotopo · June 2018

Quelqu'un peut m'aider ?

GaBuZoMeu · June 2018

Maxtimax t'a déjà beaucoup aidé. Tu n'as pas fait grand chose de son indication.
Que peux-tu dire de la nature topologique des $K_n\setminus \Omega$ ?

Topotopo · June 2018

Il travaille par l'absurde ou non ? J'ai un problème avec les quantificateurs je n'arrive pas a à écrire une preuve correctement.

La nature de $K_n\setminus \Omega$ est un fermé dans le compact $K_n$ donc compact.

GaBuZoMeu · June 2018

OK, tu as une suite décroissante de compacts. Je parie que tu sais des choses sur les suites décroissantes de compacts.

Topotopo · June 2018

Je ne vois pas ce que je peux dire

Topotopo · June 2018

Je peux dire que $\quad\bigcap\limits_{n\in\mathbb{N}} (K_n\setminus \Omega)\neq \emptyset$

GaBuZoMeu · June 2018

Tu peux le dire.
Mais est-ce que c'est vrai ? Sous quelle hypothèse ?

Topotopo · June 2018

J'ai démontré pour une question précédente que $K\neq \emptyset $

Je sais que dans une espace compact une famille décroissante de fermé non vide est d'intersection non vide

et je sais que dans un espace séparé une famille décroissante de compact non vide est d'intersection non vide