Cours sur les surfaces de Riemann

Bonsoir,

Un livre excellent et très efficace est "Lectures on Riemann surfaces" par Forster. Le premier chapitre est une très bonne introduction aux surfaces de Riemann, et le chapitre 2 couvre toute la géométrie algébrique de base (cohomologie, fibré, diviseurs, Riemann-Roch, Abel Jacobi etc...). Le chapitre 3 traite des surfaces non compactes, avec un peu plus d'analyse cette fois. En revanche il n'y a pas grand chose sur la géométrie hyperbolique.

Sinon il y a aussi le livre de Rick Miranda, "Algebraic curves and Riemann surfaces", qui est écrit de manière beaucoup plus détaillée, avec beaucoup beaucoup d'exemples et d'exercices, et uniquement les surfaces de Riemann compactes. Pour un petit résumé : les 100 premières pages sont principalement la théorie de base et beaucoup d'exemples, ensuite 100 pages sur les diviseurs, Riemann-Roch, avec un chapitre entier d'applications élémentaires de Riemann Roch. Parmi ces applications il y a l'argument de Riemann qui explique pourquoi l'espace de modules des courbes $\mathscr{M}_g$ de genre $g$ devrait avoir dimension $3g - 3$ quand $g \geq 2$. Ensuite le théorème d'Abel-Jacobi est énoncé et prouvé de manière élémentaire (i.e sans faisceaux), juste avec l'intégration sur les surfaces de Riemann. Les derniers chapitres introduisent de manière très élémentaire la cohomologie des faisceaux. Il y a une preuve très détaillée qu'il y a un isomorphisme entre : 1) le groupe des fibrés inversibles à isomorphisme près, 2) les groupes des fibrés en droites à isomorphismes près, 3) $H^1(X, \mathcal O_X^*)$, 4) le groupe des diviseurs à équivalence linéaires près. Toujours pas grand chose sur la géométrie hyperbolique par contre ...