Est-ce un espace topologique ?

Stator
Stator
dans Topologie
Hello
J'ai un espace $E$ tel que pour tout couple d'éléments $(e_1,e_2)$ de $E$ il existe une application $\varphi$ continue de $[0,1]$ dans $E$ vérifiant:
- $\varphi(0)=e_1$
- $\varphi(1)=e_2$
- $\varphi(x) \in E$ pour $0<x<1$
Peut-on dire si $E$ est un espace topologique ? Faut-il autre chose pour qu'il le soit ?
Je ne vois pas trop avec la définition par les ouverts.
Désolé si c'est stupide comme question ou trivial.

Réponses

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Pourquoi la question n'a pas de sens : si $E$ n'est pas déjà un espace topologique, qu'est-ce qu'une application continue de $[0,1]$ dans $E$ ??

    PS. Tu as sûrement en tête un problème que tu as mal formulé. Quel est ton vrai problème ?
  • Stator
    Stator
    Merci pour ta réponse. Mon espace $E$ est non vide et est muni d'une opération interne $+$ et d'une opération externe $*$ telles que pour tout couple d'éléments $(u,v)$ de $E$ et tout réel $\lambda \geq 0$ on a:
    -$u+v \in E$
    -$\lambda*u \in E$
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    J'ai eu beau souligner le mot; tu n'as toujours pas dit ce qu'est une fonction continue de $[0,1]$ dans $E$.
    Une nouvelle fois quel est ton vrai problème ?
  • Stator
    Stator
    Pour un couple $e_1,e_2$ d'éléments de $E$ l'application de $[0,1]$ dans $E$ définie par $x\mapsto x*e_1+(1-x)*e_2$ n'est-elle pas continue ?
  • Cyrano
    Cyrano
    Je suppute que $E$ est un espace vectoriel de dimension finie muni d'une topologie donnée par celle de $\R^n$ via une base, right ?
  • Stator
    Stator
    Dans mon cas $E$ est de dimension infinie et n'est pas vraiment un espace vectoriel sur $R$ car le scalaire doit rester positif.
  • Poirot
    Poirot
    @Stator : ça n'a pas de sens de parler de continuité pour une application à valeurs dans (ou même définie sur) $E$ si l'on ne parle pas déjà d'une certaine topologie sur $E$ !
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Décidément, tu n'as pas l'air de comprendre qu'on ne peut parler de fonction continue $[0,1]\to E$ que si on a une topologie sur $E$ !

    Par exemple, si tu mets sur $E$ la topologie grossière, alors toute fonction de $[0,1]$ dans $E$ sera continue !

    Tu dévoiles petit à petit le contexte de ta question, mais tu nous caches encore pas mal de choses (ce que vérifient tes opérations, par exemple).
    Est-ce que ton vrai problème serait quelque chose du genre "Y a-t-il une topologie sur $E$ telle que pour tous $e_1\neq e_2$ dans $E$ l'application $x\mapsto x*e_1+(1-x)*e_2$ soit un homéomorphisme de $[0,1]$ sur son image" ?
  • Stator
    Stator
    Je n'essaie pas de cacher :) Je tâtonne. La manière dont tu as formulé le problème me semble être intéressante. Y a-t-il une réponse à cette question ?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Dis nous en plus sur ton $E$ : d'où vient-il, quelles propriétés sont vérifiées par ses opérations ?
  • Algèbre
    Algèbre
    Ça veut dire quoi une application $\phi : [0, 1] \to E$ si $E$ n'a pas de structure topologique ?

    Si après l’énoncé est : "soit $$E espace topologique tel que il existe $\phi$ tel que bla bla" alors en particulier $E$ est topologique car il l'est.
  • Stator
    Stator
    $E$ est un espace de fonctions méromorphes définies et ne s'annulant pas dans le demi plan $\Re z>1$. Le $+$ c'est la multiplication classique :$(e_1+e_2)(z)=e_1(z)e_2(z)$ et $*$ l'exponentiation :$\lambda*e_1(z)=e_1(z)^{\lambda}$.
  • Algèbre
    Algèbre
    Une petite recherche me donne ceci.
  • Stator
    Stator
    Merci Algèbre mais je ne vois pas trop l'application ici.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Qu'est-ce qu'une "fonction méromorphe définie sur $\Omega$" ? Simplement une fonction holomorphe sur $\Omega$ ?
  • Stator
    Stator
    Holomorphe sur $\Omega$ avec un prolongement méromorphe qui peut aller au delà. On peut ajouter que ces fonctions ont toute une transformée de Laplace inverse définie sur $[0,+\infty[$.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    On peut mettre une topologie, même une distance : par exemple en prenant pour distance de deux fonctions le maximum du module de la différence sur le disque fermé de centre $3$ et de rayon $1$. Ou la topologie compacte-ouverte.
  • Stator
    Stator
    Merci c'est ce qui me fallait. Désolé pour les circonvolutions.
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