Définition d'une topologie

Bonjour

Soit $E$ un ensemble et $\mathcal O\subset\mathcal P(E)$. En lisant un cours, j'ai vérifié que les assertions suivantes étaient équivalentes :

1) $\mathcal O$ est stable par réunion quelconque et par intersection finie.
2) $E\in\mathcal O$ et $\emptyset\in\mathcal O$ et $\mathcal O$ est stable par réunion quelconque et pour tout $(A,B)\in\mathcal O^2,\ A\cap B\in\mathcal O$.

On utilise notamment qu'une intersection vide est $E$ et qu'une réunion vide est vide.
Si $\mathcal O$ vérifie 1) (ou 2)), on dit qu'il s'agit d'une topologie sur $E$ et on dit que $(E,\mathcal O)$ est un espace topologique.

Je n'avais jamais vu le 1) avant, uniquement le 2). On est d'accord que même si son énoncé est plus simple, en pratique, tout le monde utilise toujours le 2) pour vérifier qu'un truc est une topologie ? Alors qu'avec le 1) ça irait plus vite non ?

Ma question est en fait d'ordre pratique. Si l'on choisit de prendre le 1) pour vérifier qu'un truc est une topologie, doit-on toujours faire la discussion sur la fait que l'ensemble d'indices (pour l'intersection) est vide ou non ? J'imagine qu'il y a une raison pour laquelle on n'utilise pas 1), mais je ne sais pas laquelle.