Valeurs d'adhérence d'une application

Boole et Bill · June 2018

Bonjour à tous,

J'ai la définition suivante :
Soient $E$ et $F$ deux espaces topologiques, $A$ une partie non vide de $E$, $f$ une application de $A$ dans $F$, et $b$ un point de $E$ adhérent à $A$. On dit qu'un élément $m$ de $F$ est valeur d'adhérence de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $b$ dans $A$, si pour tout voisinage $V$ de $m$ dans $F$ et tout voisinage $U$ de $b$ dans $E$, il existe un élément $x$ de $U \cap A$ tel que $f(x) \in V$

Je voulais savoir si j'avais compris cette définition de travers avec un exemple. En prenant pour espaces topologiques de départ $\overline{\R}$ et d'arrivée $\R$ (muni de leurs topologies usuelles), et comme application$x \mapsto x \sin{(x)}$, peut-on affirmer que tout réel est valeur d'adhérence de cette application? En effet, pour tout voisinage $V$ de d'un réel quelconque, et pour tout voisinage $U$ de $+\infty$, il existe $x \in U \cap \R$ tel que $x\sin{(x)} \in V$, non?

Je pose la question car ça me parait étrange. Le même phénomène pourrait s'observer avec \[ x \mapsto \dfrac{\sin{(\frac{1}{x})}}{x} \] en $0$ il me semble. Si je ne me suis pas trompé, je pose une autre question : à quoi sert cette notion?

EDIT : modification de R en Rbarre et inversement.

Maxtimax · June 2018

Cette notion est surtout utile lorsque l'ensemble de définition de $f$ n'est pas $E$ tout entier; spécifiquement lorsque $f$ n'est pas définie en $b$.
Si $f$ est définie en $b$ et continue en $b$, les valeurs d'adhérence de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $b$ sont précisément les éléments de l'adhérence de $\{f(b)\}$, donc par exemple lorsque $F$ est $T_1$ (comme dans les exemples que tu proposes), c'est précisément $\{f(b)\}$: ça a peu d'intérêt.

C'est d'ailleurs pour ça que le premier exemple que tu proposes ($x\mapsto x\sin(x)$) a peu d'intérêt (voir remarque après, que je me suis faite en relisant ton post), tandis que le deuxième en a plus: $x\mapsto \frac{\sin(\frac{1}{x})}{x}$ n'est pas définie en $0$, et donc on peut se demander quelles sont les valeurs d'adhérence de cette fonction en $0$.

Remarque concernant ton premier exemple: en fait dans ton premier exemple, $E=\overline{\R}$ et pas $\R$, c'est l'espace d'arrivée qui est $\R$ (et $A=\R$ aussi)

Bon, maintenant qu'on a vu dans quel cas cette notion peut être intéressante, voilà pourquoi elle peut l'être dans ces cas: on est face à une fonction qui est définie sur des points très proches de $b$, mais pas en $b$ (c'est le cas de tes deux exemples, modulo ma reformulation pour le premier). On peut se demander quel est le comportement de $f$ aux alentours de $b$; pour répondre à différentes questions, notamment : peut-on prolonger $f$ en $b$ de manière continue par exemple, si $f$ était continue au début ? Lorsqu'on a des espaces avec plus de structure, avec quelle régularité (dérivable, $C^1, C^\infty$ ?) peut-on prolonger $f$ en $b$ ? Par exemple $x\mapsto x\sin(\frac{1}{x})$ avec $E=\R, A= \R^\times, F= \R$ est prolongeable en $0$ par continuité car il n'y a qu'une valeur d'adhérence en $0$, qu'en est-il de sa dérivée ?

Mais on peut aussi être intéressé par le comportement de $f$ en $b$ juste en soi; car on aime étudier les comportements des objets qu'on étudie: cela apporte de l'information.

Boole et Bill · June 2018

Merci de ta réponse. Que signifie $T_1$?

Maxtimax · June 2018

$T_1$ c'est un axiome de séparation, qui dit que tout singleton est fermé : on dit qu'un espace topologique $X$ est $T_1$ lorsque pour tous $x,y\in X$ distincts, il existe $V_1, V_2$ des voisinages de $x,y$ respectiement telq que $y\notin V_1, x\notin V_2$
(Exercice : c'est équivalent à : tout singleton est fermé)

Boole et Bill · June 2018

Pour répondre à ton exercice :

Supposons que $X$ soit $T_1$. Soit $x \in X$, et soit $y \in X \backslash \{x\}$. Nous voulons montrer que $ X \backslash \{x\}$ est ouvert. Par hypothèse, il existe $V_1$ et un voisinage de $x$ et $V_2$ un voisinage ouvert de $y$ tels que $V_1 \cap V_2 = \emptyset$. En particulier, $V_2 \cap \{x\} = \emptyset$. Par suite, $ X \backslash \{x\}$ est un voisinage de chacun de ses points, et est donc un ouvert.
Réciproquement, soient $x$ et $y$ deux éléments distincts de $X$. L'ensemble $ X \backslash \{x\}$ étant ouvert, il est en particulier voisinage de $y$, donc contient un voisinage $V_2$ de $y$ ne contenant pas $x$. De même, il existe un voisinage $V_1$ de $x$ ne contenant pas $y$. Posons $V=V_1 \cap V_2$, et $V_1' = V_1 \backslash V$ et $V_2' = V_2 \backslash V$. Et là je me rend compte que soit ça ne mène à rien, soit je suis bloqué.

Maxtimax · June 2018

Alors attention tu n'as pas que $V_1\cap V_2 =\emptyset$ (ça c'est $T_2$ et c'est strictement plus fort !)

Boole et Bill · June 2018

Oui je sais, c'est bien ce qui m'embête! Edit : tu parles de la première démonstration? RE édit : Je viens de comprendre $T_1$, je vais réajuster

Maxtimax · June 2018

Oui je parle de la première démonstration

Boole et Bill · June 2018

Pour la première démonstration, l'existence de $V_1$ et de $V_2$ tels qu'ils ne contiennent pas $y$ et $x$ respectivement permet de conclure. Pour la réciproque, pas besoin de considérer $V$. Je suis curieux de savoir s'il y a une caractérisation des singletons ou d'autre chose sous $T_2$, qui au passage est l'axiome de Hausdorf si j'ai bien suivi?

Maxtimax · June 2018

Oui, voilà.
C'est bien l'axiome de Hausdorff, en français on dit souvent aussi simplement "espace séparé".
Il ne me semble pas que $T_2$ ait d'interprétation de ce genre... d'ailleurs, désolé, je me suis évidemment (étourderie de ma part) trompé plus haut, en fait c'est $T_2$ qu'il faut pour que les valeurs d'adhérence en $b$ de $f$ continue en $b$ soient uniquement $f(b)$; en exercice :montrer que c'est en fait équivalent à $T_2$
(plus précisément: soit $F$ un espace topologique, alors $F$ est $T_2$ si et seulement si pour tout espace $X$ et toute application $f: X\to F$ continue en $b\in X$, la seule valeur d'adhérence de $f$ en $b$ est $f(b)$). C'est d'ailleurs ce qui justifie l'heuristique "les limites sont uniques ssi l'espace est $T_2$" - heuristique qui aurait dû me faire voir mon erreur dès le début (mais ça ne change pas ma remarque générale, ni l'intérêt des exercices que je t'ai donnés)

olivierpayet · March 2021

Bonjour à tous,
Étant donné une partie $A$ de $R$, un point $a$ adhérent à $A$ dans $\overline{\mathbb{R}}$ et une application $\begin {array}{ccccc} f & : & A & \to & \mathbb{R} \end{array}$, est-il exact que pour une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ d'éléments de $A$ convergeant vers $a$, la suite $(f(u_n))_{n \in \mathbb{N}}$ admet une valeur d'adhérence?
Merci d'avance

christophe c · March 2021

Toute suite dont les termes sont dans $\overline{\mathbb{R}}$ admet au moins une valeur d'adhérence (compacité de cet espace).

olivierpayet · March 2021

Merci pour ta réponse,
Cordialement

SERGE_S · March 2021

@ Boole et Bill :

En se plaçant dans un espace metrique :

Un exemple illuminant est donné par une fonction bornée et continue sur un intervalle ouvert qui n'a pas de limite à l'une des bornes. Par exemple la fonction sin (1/x) définie et continue sur ]0, 1] mais qui n'a pas de limite en 0. La raison c'est ses limsup et liminf sont différentes (dans ce cas limsup sin(1/x) = 1 et liminf sin(1/x) = -1 pour x->0).

Si tu connais les notions de liminf et limsup pour les suites, la transposition de ces notions pour les fonctions ce sont les liminf et limsup de fonctions. De la même manière qu'une suite (u_n) a une limite pour n->infini ssi liminf u_n = limsup u_n une fonction a une limite en x₀ ssi limsup f = liminf f pour x->x₀

Valeurs d'adhérence d'une application

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 22