Famille de fermés

Bonjour,

Dans l'image ci-dessous, je pense avoir mal compris la définition d'un fermé de Zariski, notamment par rapport au rôle de la famille de polynômes $(P_i)_{i\in I}$ qui n'est pas quantifiée.

Est-ce qu'une formulation plus "rigoureuse" serait : $F\subset k^n$ est un fermé de Zariski de $k^n$ si et seulement si il existe $(P_i)_{i\in I}\in (k^n)[X]^I$ tel que $F=\{x\in k^n\text{ | }\forall i\in I, P_i(x)=0\}$ ?