Adhérence et intérieur d'ensemble

Topotopo · June 2018

J'ai la topologie $\theta$ sur $\mathbb{R}^2$ définie avec sa base $\mathcal{B}$ qui est la famille constitué par les ensembles $$D_{a,b,c}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y>ax+b;\ y>-ax+c\},$$ où $a>0$ et $\,b,c\in \mathbb{R}.$
Quel est l'adhérence et l'intérieur de $$
A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2, y^2+x^2<1\},
$$ Comme $A$ ne contient aucun ouvert alors $\overset{\circ}{A}=\emptyset$

Pour trouver l'adhérence j'ai la famille des fermés $$ F_{a,b,c}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y\leq ax+b;\ y\leq -ax+c\}
$$ par un dessin le plus petit fermé qui contient $A$ est délimité par les deux droites tangentes au cercle au point $(0,1)$ donc c'est $F_{a,1,1}$.
Est-ce qu'on peut trouver la valeurs exacte de $a$ ?
Merci.

Algèbre · June 2018

Calcul la pente de ta tangente?

Frédéric Bosio · July 2018

Je n'ai pas bien compris si $a$ était fixé ou quleconque. En tout cas, note que si tu as un point dans un ouvert, toute la demi-droite au dessus de ce point est aussi dans l'ouvert. de plus, la topologie $\theta $ est moins fine que la topologie usuelle, donc les fermés pour $\theta $ le sont aussi pour la topologie usuelle. Cest deux remarques te donnent déjà l'adhérence du disque ouvert si, comme je l'ai compris, $a$, $b$ et $c$ sont quelconques (il n'y a alors pas de pente à calculer, il faut juste vérifier que les points qui ne sont pas dans l'adhérence "par ces deux arguments" n'y sont effectivement pas). Si maintenant $a$ est fixé, c'est un peu plus délicat, mais un dessin avec les bonnes tangentes au cercle permet de s'en sortir.

N.B. : Je n'ai pas bien compris l'histoire des deux droites tangentes à un cercle en un point de ce cercle.

Adhérence et intérieur d'ensemble

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