Isométrie et boules
Bonjour,
Il y a une relation que j'ai démontrée, je pense qu'elle est juste mais j'aimerais avoir confirmation. Soit $f:(X,d)\rightarrow (Y,\delta)$ une isométrie, $x\in X$ et $r\in\mathbb R_{+}^{*}$. Alors :
$$f[B_d(x,r)]=B_{\delta}(f(x),r)\text{ et }f^{-1}[B_{\delta}(f(x),r)]=B_d(x,r)$$
Où j'ai noté $B_d$ une boule ouverte de $(X,d)$ et $B_{\delta}$ une boule ouverte de $(Y,\delta)$.
Les égalités sont également vraies pour les boules fermées.
Cela paraît d'ailleurs intuitif avec le fait qu'une isométrie conserve les distance.
Il y a une relation que j'ai démontrée, je pense qu'elle est juste mais j'aimerais avoir confirmation. Soit $f:(X,d)\rightarrow (Y,\delta)$ une isométrie, $x\in X$ et $r\in\mathbb R_{+}^{*}$. Alors :
$$f[B_d(x,r)]=B_{\delta}(f(x),r)\text{ et }f^{-1}[B_{\delta}(f(x),r)]=B_d(x,r)$$
Où j'ai noté $B_d$ une boule ouverte de $(X,d)$ et $B_{\delta}$ une boule ouverte de $(Y,\delta)$.
Les égalités sont également vraies pour les boules fermées.
Cela paraît d'ailleurs intuitif avec le fait qu'une isométrie conserve les distance.
Réponses
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Elle est "évidemment juste" : une isométrie entre deux espaces métriques ça veut juste dire que tu as renommé les points; et que la distance est la même; donc oui
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Tu peux toujours essayer de montrer cela ensembilstement.
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Oui c'est comme ça que j'ai fait, merci !
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Bonjour!
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