Isométrie et boules

Bonjour,

Il y a une relation que j'ai démontrée, je pense qu'elle est juste mais j'aimerais avoir confirmation. Soit $f:(X,d)\rightarrow (Y,\delta)$ une isométrie, $x\in X$ et $r\in\mathbb R_{+}^{*}$. Alors :
$$f[B_d(x,r)]=B_{\delta}(f(x),r)\text{ et }f^{-1}[B_{\delta}(f(x),r)]=B_d(x,r)$$

Où j'ai noté $B_d$ une boule ouverte de $(X,d)$ et $B_{\delta}$ une boule ouverte de $(Y,\delta)$.
Les égalités sont également vraies pour les boules fermées.
Cela paraît d'ailleurs intuitif avec le fait qu'une isométrie conserve les distance.