Soit $(X,d)$ un espace métrique. Posons $\delta=\min (1,d)$. Soit $(x,y,z)\in X^3$. Sans partir dans une disjonction de cas pénible, comment puis-je montrer que $\delta (x,y)\leq\delta (x,z)+\delta (z,y)$ ?
Pour tous réels $a,b,c$ positifs ou nuls,
$$\min(a,c)+\min(b,c)\geq \min(a+b,c)\;.$$
Une disjonction de cas pas si pénible que ça permet de démontrer ça.
Comme $a$ et $b$ jouent des rôles symétriques, on peut supposer $a\le b$. Il reste alors trois cas pour lesquels il est facile de déterminer le min : $c\le a$, $a\le c\le b$, $a\le b\le c$
Il me semble avoir écrit "Une disjonction de cas pas si pénible que ça permet de démontrer ça." :-D.
Moi je distinguerais plutôt deux cas : $a+b\leq c$ et $a+b>c$.
Ce sont effectivement les cas de GaBuZoMeu que j'ai distingués. Dans le cas $a+b>c$, j'ai encore fait une petite disjonction de cas.
Que pouvez-vous dire d'intéressant sur cette distance ?
Si on prend $d$ la distance usuelle de $\mathbb R$, alors $d$ et $\min (1,d)$ sont topologiquement équivalentes et non équivalentes (car $\min (1,d)$ est bornée et pas $d$).
Elles crée les mêmes « petits » ouverts que la distance initiale, et facilite sûrement la démonstration du fait qu’une troisième distance soit topologiquement équivalente à la première, car tu peux supposer le rayon des boules ouvertes inférieur à 1.
Réponses
$$\min(a,c)+\min(b,c)\geq \min(a+b,c)\;.$$
Une disjonction de cas pas si pénible que ça permet de démontrer ça.
Moi je distinguerais plutôt deux cas : $a+b\leq c$ et $a+b>c$.
Que pouvez-vous dire d'intéressant sur cette distance ?
Si on prend $d$ la distance usuelle de $\mathbb R$, alors $d$ et $\min (1,d)$ sont topologiquement équivalentes et non équivalentes (car $\min (1,d)$ est bornée et pas $d$).
Quoi d'autre ? :-)