Continuité suite d'applications

Soit $A$ un ensemble fini, et soit $(B_n)_{n\geq 1}$ une suite d'ensembles finis. On considère l'ensemble des suites d'applications de $B_n$ dans $A$ : $\{(f_n)_{n\geq 1} | \forall n \geq 1 f_n:B_n\to A\} = \prod_{n\geq 1} A^{B_n}$, que l'on muni de la topologie produit (pour laquelle c'est un ensemble compact).

Une suite $(f^k_n)_{n,k}$ converge vers $(f_n)_n$ si pour tout $n\geq 1$ $f_n^k$ converge vers $f_n$ lorsque $k$ tend vers $+\infty$. Comme pour tout $n$, $f_n$ appartient à un ensemble fini, cela signifie que pour $k$ assez grand, $f_n^k=f_n$.

Soit une application $G : \prod_{n\geq 1} A^{B_n}\to \mathbb{R}\cup \{+\infty\}$, quelconque.

L'application $G$ est-elle nécessairement continue ? J'ai envie de dire que oui car pour $k$ assez grand, $(f_n^k)_{n,k} = (f_n)_n$ mais n'ai-je pas supposé une convergence uniforme en $k$ ?

Merci