Arens-Eells
Bonjour,
Soit $(X,d)$ un espace métrique, $x_0\in X$, $\mathcal F=\{A\subset X, A\text{ fini et }A\neq\emptyset\}$, $B(\mathcal F)=\{f:\mathcal F\rightarrow \mathbb R\text{ bornée }\}$ l'espace vectoriel muni de la norme $||f||_{\infty}=\sup_{A\in\mathcal F}|f(A)|$.
On note $\Phi:X\rightarrow\mathbb R^{\mathcal F}$ l'application définie par $\forall x\in X, \Phi(x)=(A\mapsto d(x,A)-d(x_0,A))$.
Edit : on a seulement $\Phi$ à valeurs dans $B(\mathcal F)$.
Soit $(X,d)$ un espace métrique, $x_0\in X$, $\mathcal F=\{A\subset X, A\text{ fini et }A\neq\emptyset\}$, $B(\mathcal F)=\{f:\mathcal F\rightarrow \mathbb R\text{ bornée }\}$ l'espace vectoriel muni de la norme $||f||_{\infty}=\sup_{A\in\mathcal F}|f(A)|$.
On note $\Phi:X\rightarrow\mathbb R^{\mathcal F}$ l'application définie par $\forall x\in X, \Phi(x)=(A\mapsto d(x,A)-d(x_0,A))$.
Edit : on a seulement $\Phi$ à valeurs dans $B(\mathcal F)$.
Réponses
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L'inclusion réciproque n'a aucune raison d'être vraie.
Prenons par exemple le cas de $X$ fini, et alors $d$ est bornée, disons par $M$, et alors $\Phi(x)$ est aussi bornée par $M$ pour tout $x$: prendre une fonction $f\in B(\mathcal{F})$ valant $M+1$ partout donne une fonction qui n'est pas dans $\Phi(X)$ (ça marche aussi pour les espaces bornés plus généralement°
Mais, si je ne me trompe pas et que tu veux prouver que $X$ est isométrique à un fermé d'un espace vectoriel normé, tu n'as pas besoin de l'égalité. -
Merci, de plus, j'ai édité mon premier message, j'avais omis une hypothèse ("fini") sur $\mathcal F$.
Montrons que $\Phi$ est injective.
Soit $(x,y)\in X^2$ tel que $\Phi(x)=\Phi(y)$. Alors pour tout $A\in\mathcal F, d(x,A)=d(y,A)$. Donc en particulier pour $A=\{x\}\in\mathcal F$, il vient $d(y,\{x\})=0$. Donc $y\in\overline{\{x\}}=\{x\}$ donc $y=x$.
Donc la corestriction de $\Phi$ à son image, qu'on note $\varphi$, est une bijection. -
Je continue, il s'agit maintenant, pour obtenir que $\varphi$ est une isométrie, de montrer que : $\forall (x,y)\in X^2, ||\varphi(x)-\varphi(y)||_{\infty}=d(x,y)$.
Soit $(x,y)\in X^2$. Pour tout $A\in\mathcal F, |\varphi(x)(A)-\varphi(y)(A)|=|d(x,A)-d(y,A)|\leq d(x,y)$ donc par passage au $\sup$, il vient $||\varphi(x)-\varphi(y)||_{\infty}\leq d(x,y)$.
Comment obtenir l'inégalité inverse ? -
En considérant la bonne partie $A$ tu auras l'inégalité inverse sans souci je pense ;-)
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J'avoue ne pas trouver cette partie :-)
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La même que pour l'injectivité !
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Ah, j'avais pourtant essayé, mais en fait c'est plus simple que ce que je pensais, le sup est atteint avec une telle partie, merci !
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Dernier chose que j'aimerais montrer : $\Phi(X)$ est fermé dans $B(\mathcal F)$.
J'ai essayé de le faire en montrant que son complémentaire était voisinage de chacun de ses points, en vain. -
En fait ce n'est pas ça qu'il faut essayer de montrer :-D il faut essayer de montrer que $\Phi(X)$ est fermé dans $\mathrm{Vect}\Phi(X)$
(en général, $\Phi(X)$ n'est pas fermé dans $B(\mathcal{F})$ : typiquement en prenant $X$ dénombrable (comme $\mathbb{Q}$ par exemple) on aura $\mathcal{F}$ dénombrable et donc $B(\mathcal{F})$ complet: si $\Phi(X)$ y était fermé il serait donc complet et donc $X$ aussi, ce qui n'est clairement pas le cas en général...) -
Merci !
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bonjour, ok pour l'injection mais j'avoue que je me suis creusé pour la surjection c'est trivial ?
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Marco : la surjection sur quoi ? Sur son image ? :-D
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j étais fatigué hier en effet (tu)
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Merci. en fait je me rends compte que je faisais la même erreur que ceux qui tentent de montrer que tout B(F) est fermé.
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@babsgueye : relis la définition de $\Phi$
@Marco : je sais bien, je sais bien (d'autant plus que même si c'était utile, tout espace métrique a une distance compatible qui est bornée - mais c'est complètement inutile ici ) -
@Maxtimax
Le comprends que $\forall x\in X$, on a $\Phi(x)\;:\mathcal F\to \R$ qui à $A \mapsto \; d(x, A) - d(x_{0}, A)$.
On a $\{x_0\}\in \mathcal F$ et donc $\Phi(x)(\{x_0\}) = d(x, x_{0})$, puisque $d(x_{0}, x_{0}) = 0$ ....non ?
Par ailleurs, si $X$ n'est pas borné, $||\Phi(x)(\{x_0\})||_{\infty} = \sup_{x\in X}d(x, x_{0})$...non ?
Que devient $\sup_{x\in X}d(x, x_{0})$ si $X$ n'est pas borné ? -
@babsgueye: $\Phi$ n'est pas bornée effectivement, mais on s'en fiche, c'est $\Phi (x)$ qui doit être dans $B(\mathcal{F})$ , donc $\Phi (x) $ qui doit être bornée.
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Justement je dis que $\Phi(x)$ n'est pas borné si $X$ n'est pas borné.
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Je pense que j'ai compris maintenant, mais tu n'as pas bien rectifié sur mes calculs. En fait c'est le $x$ qui est fixé lorsqu'on applique $\Phi(x)$.
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Relis tes calculs et tu verras que tu ne prouves en rien que $\Phi (x)$ n'est pas bornée
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Si, quand je dis $.....= \sup_{x\in X}d(x, x_{0})$ c'est pas borné parce que $x$ parcourt $X$ lui-même non borné.
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Tu fais bouger $x$, alors qu'il est fixé !
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Au vu de tes derniers messages tu ne t'es pas rectifié. Mais je vois qu'essayer de t'aider a peu d'intérêt puisque tu ne m'écoutes pas
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Tu me lis pas attentivement pour arriver à me rectifier sans détours passifs.
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@Maxtimax c'est dans mes messages précédentsbabsgueye a écrit:Par ailleurs, si $X$ n'est pas borné, $||\Phi(x)(\{x_{0}\})||_{\infty} = \sup_{x\in X}d(x, x_{0})$...non ?
C'est là mon erreur parce qu'il n'y a pas de $\sup_{x\in X}$ normalement, mais seulement $d(x, x_{0})$ qui est fini.
Tu ne me l'as pas tout simplement dit. C'est ce que j'expliquais après mais je ne m’entêtais pas -
Il n'y a qu'un message qui indique que tu as compris mais il est suivi de messages qui indiquent que tu n'as pas compris (mon message "Relis tes calculs etc." ayant en fait été posté au même moment que ton message juste avant que je n'avais pas vu; mais tu y as répondu par "Si", ce qui est surprenant si tu as compris)
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Ok je pense que c'était juste de l'incompréhension mutuelle.
Merci
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