Fermeture, densité, injectivité

Dans ta définition d'une isométrie, elle doit être linéaire?

message originale contenant une coquille a écrit:

Si tu connais bien les opérateurs normaux, ça sera facile pour toi
Un opérateur V est dit normale si $V^*V=VV^*$
Un opérateur V est dit unitaire si $V^*V=VV^*=Id$

Il y a deux résultats d'analyse fonctionnel qu'il faut connaitre

1- Si $V$ est une isométrie surjective, alors V est un opérateur unitaire et donc en particulier un opérateur normale
2- Si $V$ est normale et $T=V-\lambda I$ où $\lambda\in \C$ , alors $\ker T=\ker T^*$

$Im(T)$ est dense dans H alors $\ker T^*=\{0\}$ et d’après 1 et 2 , $\ker T=\{0\}$ c'est à dire T est injective

message edité a écrit:

Un opérateur $V :E\to F$ est dit unitaire avec E et F deux Hilbert si $V^*V=Id_E$ et $VV^*=Id_F$

1- Si $V:E\to F$ est une isométrie surjective, alors V est un opérateur unitaire
2- Si $V$ est un opérateur unitaire et $T=V-\lambda I$ où $\lambda\in \C$ , alors (?) $\ker T=\ker T^*$

$Im(T)$ est dense dans H alors $\ker T^*=\{0\}$ et d’après 1 et 2 , $\ker T=\{0\}$ c'est à dire T est injective

[/quote]

Bonjour,

Auriez-vous un ou des exemples non triviaux d'une telle situation (des exemples de $V$) ?

@gebrane Je ne comprends pas bien ton raisonnement. Ici, $V$ ne va pas de $H$ dans $H$ mais de $M$ dans $H$, donc on ne peut pas dire qu'il est "normal". En bricolant un peu avec les mêmes idées j'arrive à la preuve suivante, mais est-ce que tu aurais une formulation plus propre et unifiée ?

Preuve : On a deux isométries linéaires $V,W : M \to H$, tel que $\DeclareMathOperator{\Img}{Im}\DeclareMathOperator{\id}{id}\Img(V-W)$ est dense dans $H$. Alors $0 = \Img(V-W)^{\bot} = \ker(V^* - W^*)$. Soit $x \in \ker(V - W)$ et soit $y := V(x) = W(x)$. Comme $V^* \circ V = \id_M$ et pareil pour $W$ (ce sont des isométries), on a $V^*(y) = x = W^*(y)$, soit $y \in \ker(V^* - W^*)$. On obtient ainsi une injection linéaire de $\ker(V-W)$ dans $\ker(V^*-W^*)$, et donc $\ker(V-W) = 0$.

Si on a à la fois $V^* \circ V = \id_M$ et $V \circ V^* = \id_H$, et similairement pour $W$, alors on obtient un isomorphisme entre $\ker(V-W)$ et $\ker(V^* - W^*)$ (isomorphisme réalisé par $V$ ou $W$, au choix).

Ça peut s'appliquer pour avoir la propriété 2 de gebrane (on a égalité car l'isomorphisme est réalisé par un multiple de l'identité), dans le cas où $V$ est unitaire… Je ne sais pas comment unifier les deux raisonnements (celui ci-dessus et pour $V$ normale).

Je ne vois pas en quoi le raisonnement de gebrane s'applique directement, en fait.

Ce que tu dis après ton edit est équivalent à ce que tu dis avant, la situation est juste présentée différemment (en ajoutant que $I$ est une isométrie linéaire surjective de $E$ vers $F$). Ici $V : M \to H$ n'est pas surjectif, etc.

Je suis arrivé à la conclusion que les deux raisonnements sont vraiment différents (et le tien ne s'applique pas ici).

On peut réorganiser ton raisonnement comme suit :
1) Si $V$ est normal, alors tout polynôme en $V$ l'est aussi.
2) Si $T$ est normal, alors $\ker T = \ker T^*$ (puisque $\|T(x)\|^2 = \|T^*(x)\|^2$).

Cela donne que si $V$ est normal, alors $\ker(V-\lambda) = \ker(V^* - \overline{\lambda})$.

Si on essaie d'appliquer mon raisonnement à la même situation, lorsque $V$ est une isométrie, on obtient $\ker(V-\lambda) = \ker(\lambda V - 1) = \ker(V - 1/\lambda)$. Puisque $V$ est une isométrie, c'est bien cohérent car on doit avoir soit un noyau nul, soit $|\lambda| = 1$ (donc $\overline{\lambda} = 1/\lambda$).

Pour le raisonnement de ton dernier message, je ne vois pas. Soit on arrive à $\ker(V^* - I) = 0$, soit il faut prendre comme hypothèse que l'image de $V^* - I$ est dense.

$V$ est une isométrie de $M$ vers $H$, ensuite elle est surjective sur son image, je ne vois pas ce que tu peux tirer de ça. Oui, je veux bien que tu détailles.

Ah d'accord, je vois maintenant ce que tu fais. Je n'avais pas le passage $\langle x, y-V(y) \rangle = \langle x, y \rangle - \langle V(x), V(y) \rangle = 0$.