Point d'accumulation

Boole et Bill · July 2018

Bonjour, je rencontre des difficultés à bien comprendre la définition suivante :

Soit $(X,\mathcal{T})$ un espace topologique et $A$ une partie de $X$. On dit d'un point $x\in X$ qu'il est un point d'accumulation de $A$ si tout voisinage de $x$ contient un point de $A$ distinct de $x$.

En quoi cette définition diffère-t-elle de celle d'un point adhérent à $A$?

Poirot · July 2018

Un point peut être adhérent sans être d'accumulation, relis bien le passage disant que les voisinages en question doivent contenir un point de $A$ distinct de $x$.

Boole et Bill · July 2018

Merci. Je crois que je saisis la nuance, par exemple, dans un espace séparé, un singleton n'admettra de point adhérent que lui même, mais aucun point d'accumulation?

Poirot · July 2018

Oui par exemple. Il faut voir un point d'accumulation comme son nom l'indique comme un point où des éléments de $A$ s'accumulent ! On distingue alors deux types de points adhérents, les points d'accumulation et les points isolés, qui possèdent un voisinage ne contenant qu'eux-mêmes comme élément de $A$.

Algèbre · July 2018

Par exemple $X = \mathbb{R}$, $A = [0, 1[ \cup \{2\}$, $2$ est adhérent à $A$ car dans $A$ mais est isolé.

Boole et Bill · July 2018

Et donc dans un espace non séparé (j'avoue ne pas en connaître mis à part le cas pathologique de la topologie grossière, d'ailleurs y en a-t-il d'intéressants ?) la présence de points qui ne sont pas des points d'accumulation permet de connaître les endroits où $X$ est "presque séparé" ?
Je repose explicitement ma question, avez-vous des exemples intéressants d'espaces topologiques non séparés ? Quand je dis intéressant, veuillez comprendre qui s'emploient dans une autre théorie importante (en analyse fonctionnelle etc)

Poirot · July 2018

Par exemple la topologie de Zariski sur n'importe quel corps infini n'est pas séparée. C'est un exemple "intéressant" car très utilisé en algèbre et géométrie algébrique.

Point d'accumulation

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