Propriétés élémentaires de l'adhérence

Boole et Bill · July 2018

Bonjour,
Soit $(X,\mathcal{T})$ un espace topologique et $A$ une partie de $X$. J'essaie de prouver que tout fermé $F$ contenant $A$ contient également $\overline{A}$. Pour ce faire, j'ai considéré un point $x$ de $\overline{A}$, puis j'ai simplement constaté que tout voisinage $V$ de $x$ rencontre $F$. Je ne vois pas trop comment faire ensuite. J'ai déjà montré que $\overline{A}$ est fermé et je pense bien en avoir besoin mais je n'arrive pas à utiliser cette information.
J'ai eu une autre idée, à savoir de montrer directement que $\overline{A}$ est l'intersection de tous les fermés contenant $A$. Dans ce but, je considère un point $x$ appartenant à l'intersection $F$ de tous les fermés contenant $A$, et un voisinage $V$ de $x$. Ensuite, je suis bloqué.

Auriez-vous des indications?

gebrane · July 2018

L'adhérence de tout ensemble fermé est égale à lui-même et tu as déjà démontré que $\overline A$ est un fermé.

Soit F un fermé tel que $A\subset F\subset \overline A$ alors $\overline A\subset \overline F\subset \overline {\overline A}$ c'est à dire $\overline A\subset F\subset \overline A$ c'est à dire $F= \overline A$

J'aimerais bien voir comment tu as démontré que $\overline A$ est un fermé

GaBuZoMeu · July 2018

Quelle est ta définition de l'adhérence ? Pour moi, l'adhérence de $A$ est le plus petit fermé contenant $A$, autrement dit (puisque l'ensemble des fermés est stable par intersection quelconque, par définition d'une topologie), l'intersection des fermés contenant $A$.

gebrane · July 2018

J'ai pris comme définition basique $\overline A=\{x, x\, \text{est adhérent à}\, A\}$

GaBuZoMeu · July 2018

Ma question s'adresse à Boole et Bill, désolé de ne pas l'avoir précisé.

Cyrano · July 2018

Tu veux montrer que si $A \subset F$ alors $\overline{A}\subset F.$
Soit $x \in \overline{A}$. Tu veux montrer que $x$ est dans $F$. Je te suggère de procéder par l'absurde. Imagine que $x$ ne soit pas dans $F$. Donc $x\in X\backslash F$ qui est ouvert. En particulier $X\backslash F$ est un voisinage de $x$, donc...

Vois-tu comment conclure ?

Boole et Bill · July 2018

Bonjour et merci.
@gebrane : Pour démontrer que $\overline{A}$ est fermé : Soit $x \in X \backslash \overline{A}$. Il existe un voisinage ouvert de $x$ ne rencontrant pas $\overline{A}$, donc $X \backslash \overline{A}$ est un voisinage de $x$, et $\overline{A}$ un fermé de $(X,\mathcal{T})$.
Quant à ta proposition, je crois que pour montrer qu'un ensemble fermé est aussi son adhérence, on doit utiliser le fait que son adhérence est fermée et que c'est même l'intersection de tous les fermés contenant $A$, on est donc face à un cercle vicieux.

@GaBuZoMeu : J'utilise la définition suivante :

On dit qu'un point est adhérent à $A$ si tout voisinage de ce point rencontre $A$. L'adhérence de $A$ est l'ensemble de ses points adhérents.

@Cyrano : Donc $X \backslash F$ rencontre $A$, et par conséquent $F$ car $A \subset F$, il y a contradiction.

Cyrano · July 2018

Voilà. ;-)

gebrane · July 2018

Il faut revoir ta preuve de $\overline A$ est fermée

Boole et Bill · July 2018

Pourquoi? Je la détaille un peu plus s'il le faut.

Montrons que $X \backslash \overline{A}$ est ouvert, c'est à dire voisinage de chacun de ses points. Soit $x \in X \backslash \overline{A}$. Il existe un voisinage $V$ de $x$ ne rencontrant pas $A$. D'après les axiomes des voisinages, il existe un voisinage $W$ de $x$ tel que pour tout $y\in W$, $V$ soit un voisinage de $y$. On en déduit que $W \cap \overline{A} = \emptyset$ car pour tout $y$ de $W$, $V$ est un voisinage de $y$ ne rencontrant pas $A$. D'où $X \backslash A$ est ouvert, et donc $\overline{A}$ fermé.

Edit : je peux prendre $W$ ouvert, ce qui me permet de conclure.

gebrane · July 2018

Dans ton premier raisonnement tu disais

Soit $x \in X \backslash \overline{A}$. Il existe un voisinage ouvert de $x$ ne rencontrant pas $\overline{A}$ sans justification

, il fallait dire Il existe un voisinage ouvert de $x$ ne rencontrant pas $A$ c'est pourquoi mon message qu'il faut revoir ta preuve .
Dans un espace métrique c'est simple: Soit $x \in X \backslash \overline{A}$. Il existe une boule ouverte $B(x,r)$ ne rencontrant pas A, donc la boule $B(x,\frac r2 )$ ne rencontre pas $\overline A$
Je n'ai pas très bien compris ta preuve dans http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,1677576,1677740#msg-1677740
Un lien qui répond à ta question http://math.univ-lyon1.fr/~altinel/Licence/MATHIVAut08/complementch2.pdf proposition 1 ( le point 4)

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