Petits exercices sur les sous-variétés
Hello,
D'emblée, je vous annonce la couleur, j'aimerais que vous me donniez votre avis sur ma réponse à deux questions : montrer que le cône de $\mathbf{R}^3 $ et le graphe de la valeur absolue ne sont pas des sous-variétés, ainsi que des questions sur la notion de "variété quotient".
J'ai décidé d'apprendre un peu la géométrie différentielle, je me suis donc procuré l'ouvrage de Jacques Lafontaine et j'ai terminé la lecture - attentive -
du premier chapitre. Parmi les exercices, j'ai remarqué que ceux consistant à montrer que tel ensemble (hélicoïde, groupe pseudo-orthogonal ... ) est
une sous-variété sont faisables, mais que ceux consistant à montrer que le cône $\Gamma_1 = \{ (x,y,z) , x^2 + y^2 - z^2 = 0 \} $ et
$\Gamma_2 = \{ (x,|x|) \} $ ne sont pas des sous-variétés sont assez difficiles. Voici comment je m'y suis pris.
Pour le cône : \\
Soit $U$ un ouvert autour de $(0,0)$ dans $\mathbf{R}^3 $ , $f : U \rightarrow V $ une immersion telle que $f$
réalise un homéomorphisme de $U$ sur $\Gamma_1 \cap V$, on peut écrire $ f(u,v) = (x(u,v) , y(u,v) , z(u,v) )$. Au voisinage de $(0,0),
f(u,v) = Df_0 \cdot (u,v) + h(u,v) $ où $h(u,v) = o(||u,v||)$. Mais comme $f(u,v)$ doit être dans $\Gamma_1$, alors :
\[ f_1(u,v)^2 + f_2(u,v)^2 - f_3(u,v)^2 = 0 \ \text{ \ les \ fonctions \ coordonnees \ } \]
\[
\begin{matrix}
\left( \partial_u x(0)^2 + \partial_u y(0)^2 + \partial_u z(0)^2 \right) u^2 & \\
- 2 \left( \partial_u x(0) \partial_v x(0) + \partial_u y(0) \partial_v y(0) + \partial_u z(0) \partial_v z(0) \right) uv & \\
+ \left( \partial_v x(0)^2 + \partial_v y(0)^2 + \partial_v z(0)^2) v^2 +
\right) \varepsilon(u,v) & = 0
\end{matrix}
\]
Soit, en introduisant $E = \partial_u f(0) \cdot \partial_u f(0) , F = \partial_u f(0) \cdot \partial_v f(0) , G = \partial_v f(0) \cdot \partial_v f(0) $ ,
\[ (u,v) \begin{pmatrix} E & -F \\ -F & G \end{pmatrix} (u,v)^T + \varepsilon (u,v) = 0 \]
avec $\varepsilon(u,v) = o(||u,v||^2 ) $.
Mais, par définition de $\varepsilon$, comme c'est un $o(||u,v||^2 )$ et bien sur un petit ouvert $U_1$,
$ \left| (u,v) \begin{pmatrix} E & -F \\ -F & G \end{pmatrix} (u,v) \right| > | \varepsilon (u,v)|
$ donc pour conserver la nullité (hypothèse d'être sur $\Gamma_1$), et bien il faut imposer $E = 0 , F = 0 , G = 0$, vu que
que notre forme quadratique est supérieure en module au petit $\varepsilon$ pour n'importe quels $(u,v)$ d'une petite boule.
Incompatible avec l'hypothèse d'injectivité.
On a donc montré qu'à cause de $(0,0,0)$, le cône n'est pas une sous-variété (ouf !). \\
Mais vous voyez que l'on n'a pas utilisé la pseudo-justification : la fonction $x^2 + y^2 - z^2$ n'a pas une différentielle surjective en $0$. Lafontaine nous
dit que cette justification n'est pas valide, c'est pourtant la première chose qui vient à l'esprit. De ce que j'ai compris, cette fonction $x^2 + y^2 - z^2 $ c'est la définition
même de notre ensemble $\Gamma_1$, mais si nous voulions montrer que la définition par submersion ne marche pas, il faudrait montrer que ce n'est pas possible pour n'importe
quelle submersion (a priori c'est un peu difficile), donc on se rabat tant bien que mal sur la définition par immersion. \\
Pour le graphe de la valeur absolue, je me suis dit: soit $c(t) = (c_1(t) , c_2(t) ) $ une courbe sur $\Gamma_2$, définie sur $]-\varepsilon , \varepsilon [$ , avec $c(0) = (0,0)$.
Comme $c_1(0) = 0 , c_1(t) \geq 0 $, alors on en déduit que $c_1'(0) = 0 $ (on fait un DL à l'ordre un, on voit que si la dérivée est non-nulle on ne peut pas conserver la positivité). Fantastique,
mais on ne peut rien déduire a priori sur $c_2'(0)$ car $c_2(0) = \sqrt{c_1(0)^2 }$ non différentiable en $0$. Je me suis dit alors que j'allais appliquer le même raisonnement que pour le cône, au voisinage
de $0$ la fonction $c(t)$ s'écrit $(0 , a)t + h(t) $ et si on veut garder la condition $c_1^2(t) = c_2^2(t) $ on obtient $a = 0$. Ouf, on a montré que le seul
vecteur tangeant est $(0,0)$, alors qu'on sait que si c'est une sous-variété, ils doivent constituer un espace vectoriel. \\
Du coup, j'aimerais bien avoir votre avis sur ces démos, sont-elles correctes ? Je débute en géo diff, et même si je suis plutôt sûr de moi quand il s'agit de
montrer que tel ou tel ensemble est une sous variété - on prend une submersion et oh ! Miracle, la différentielle est partout surjective , ou on
prend une immersion et oh ! joie ! La différentielle est partout injective - je suis beaucoup moins sûr de moi quand il s'agit de montrer que tel ou tel ensemble
n'est pas une sous-variété, j'aurais bien aimé votre expertise.
En lisant le chapitre 2, je vois apparaître des notions de topologie quotient et tout. Apparemment c'est important parce
que ça revient tout le temps. Déjà pour les espaces projectifs, mais après pour les fibrés, et même après pour les connexions. Est-ce que vous
pourriez m'expliquer un peu cette notion de " topologie quotient " avec un exemple pédagogique, parce que j'avoue être largué sur
ce sujet. \\
N'hésitez pas à écrire lentement, comme si vous vous adressiez à un handicapé, je n'ai pas un cursus universitaire, je suis passé par une école d'ingénierie
et j'apprends les maths pour le plaisir. Donc je n'ai clairement pas le bagage d'un masterisé de Jussieu ou d'Orsay, j'avoue être à l'Ouest lorsque je lis des "passages au quotient" et autre joyeuseté. Je peux lire l'analyse fonctionnelle, les trucs de mesures, mais l'algèbre franchement ça me dépasse, je pige plus rien.
D'emblée, je vous annonce la couleur, j'aimerais que vous me donniez votre avis sur ma réponse à deux questions : montrer que le cône de $\mathbf{R}^3 $ et le graphe de la valeur absolue ne sont pas des sous-variétés, ainsi que des questions sur la notion de "variété quotient".
J'ai décidé d'apprendre un peu la géométrie différentielle, je me suis donc procuré l'ouvrage de Jacques Lafontaine et j'ai terminé la lecture - attentive -
du premier chapitre. Parmi les exercices, j'ai remarqué que ceux consistant à montrer que tel ensemble (hélicoïde, groupe pseudo-orthogonal ... ) est
une sous-variété sont faisables, mais que ceux consistant à montrer que le cône $\Gamma_1 = \{ (x,y,z) , x^2 + y^2 - z^2 = 0 \} $ et
$\Gamma_2 = \{ (x,|x|) \} $ ne sont pas des sous-variétés sont assez difficiles. Voici comment je m'y suis pris.
Pour le cône : \\
Soit $U$ un ouvert autour de $(0,0)$ dans $\mathbf{R}^3 $ , $f : U \rightarrow V $ une immersion telle que $f$
réalise un homéomorphisme de $U$ sur $\Gamma_1 \cap V$, on peut écrire $ f(u,v) = (x(u,v) , y(u,v) , z(u,v) )$. Au voisinage de $(0,0),
f(u,v) = Df_0 \cdot (u,v) + h(u,v) $ où $h(u,v) = o(||u,v||)$. Mais comme $f(u,v)$ doit être dans $\Gamma_1$, alors :
\[ f_1(u,v)^2 + f_2(u,v)^2 - f_3(u,v)^2 = 0 \ \text{ \ les \ fonctions \ coordonnees \ } \]
\[
\begin{matrix}
\left( \partial_u x(0)^2 + \partial_u y(0)^2 + \partial_u z(0)^2 \right) u^2 & \\
- 2 \left( \partial_u x(0) \partial_v x(0) + \partial_u y(0) \partial_v y(0) + \partial_u z(0) \partial_v z(0) \right) uv & \\
+ \left( \partial_v x(0)^2 + \partial_v y(0)^2 + \partial_v z(0)^2) v^2 +
\right) \varepsilon(u,v) & = 0
\end{matrix}
\]
Soit, en introduisant $E = \partial_u f(0) \cdot \partial_u f(0) , F = \partial_u f(0) \cdot \partial_v f(0) , G = \partial_v f(0) \cdot \partial_v f(0) $ ,
\[ (u,v) \begin{pmatrix} E & -F \\ -F & G \end{pmatrix} (u,v)^T + \varepsilon (u,v) = 0 \]
avec $\varepsilon(u,v) = o(||u,v||^2 ) $.
Mais, par définition de $\varepsilon$, comme c'est un $o(||u,v||^2 )$ et bien sur un petit ouvert $U_1$,
$ \left| (u,v) \begin{pmatrix} E & -F \\ -F & G \end{pmatrix} (u,v) \right| > | \varepsilon (u,v)|
$ donc pour conserver la nullité (hypothèse d'être sur $\Gamma_1$), et bien il faut imposer $E = 0 , F = 0 , G = 0$, vu que
que notre forme quadratique est supérieure en module au petit $\varepsilon$ pour n'importe quels $(u,v)$ d'une petite boule.
Incompatible avec l'hypothèse d'injectivité.
On a donc montré qu'à cause de $(0,0,0)$, le cône n'est pas une sous-variété (ouf !). \\
Mais vous voyez que l'on n'a pas utilisé la pseudo-justification : la fonction $x^2 + y^2 - z^2$ n'a pas une différentielle surjective en $0$. Lafontaine nous
dit que cette justification n'est pas valide, c'est pourtant la première chose qui vient à l'esprit. De ce que j'ai compris, cette fonction $x^2 + y^2 - z^2 $ c'est la définition
même de notre ensemble $\Gamma_1$, mais si nous voulions montrer que la définition par submersion ne marche pas, il faudrait montrer que ce n'est pas possible pour n'importe
quelle submersion (a priori c'est un peu difficile), donc on se rabat tant bien que mal sur la définition par immersion. \\
Pour le graphe de la valeur absolue, je me suis dit: soit $c(t) = (c_1(t) , c_2(t) ) $ une courbe sur $\Gamma_2$, définie sur $]-\varepsilon , \varepsilon [$ , avec $c(0) = (0,0)$.
Comme $c_1(0) = 0 , c_1(t) \geq 0 $, alors on en déduit que $c_1'(0) = 0 $ (on fait un DL à l'ordre un, on voit que si la dérivée est non-nulle on ne peut pas conserver la positivité). Fantastique,
mais on ne peut rien déduire a priori sur $c_2'(0)$ car $c_2(0) = \sqrt{c_1(0)^2 }$ non différentiable en $0$. Je me suis dit alors que j'allais appliquer le même raisonnement que pour le cône, au voisinage
de $0$ la fonction $c(t)$ s'écrit $(0 , a)t + h(t) $ et si on veut garder la condition $c_1^2(t) = c_2^2(t) $ on obtient $a = 0$. Ouf, on a montré que le seul
vecteur tangeant est $(0,0)$, alors qu'on sait que si c'est une sous-variété, ils doivent constituer un espace vectoriel. \\
Du coup, j'aimerais bien avoir votre avis sur ces démos, sont-elles correctes ? Je débute en géo diff, et même si je suis plutôt sûr de moi quand il s'agit de
montrer que tel ou tel ensemble est une sous variété - on prend une submersion et oh ! Miracle, la différentielle est partout surjective , ou on
prend une immersion et oh ! joie ! La différentielle est partout injective - je suis beaucoup moins sûr de moi quand il s'agit de montrer que tel ou tel ensemble
n'est pas une sous-variété, j'aurais bien aimé votre expertise.
En lisant le chapitre 2, je vois apparaître des notions de topologie quotient et tout. Apparemment c'est important parce
que ça revient tout le temps. Déjà pour les espaces projectifs, mais après pour les fibrés, et même après pour les connexions. Est-ce que vous
pourriez m'expliquer un peu cette notion de " topologie quotient " avec un exemple pédagogique, parce que j'avoue être largué sur
ce sujet. \\
N'hésitez pas à écrire lentement, comme si vous vous adressiez à un handicapé, je n'ai pas un cursus universitaire, je suis passé par une école d'ingénierie
et j'apprends les maths pour le plaisir. Donc je n'ai clairement pas le bagage d'un masterisé de Jussieu ou d'Orsay, j'avoue être à l'Ouest lorsque je lis des "passages au quotient" et autre joyeuseté. Je peux lire l'analyse fonctionnelle, les trucs de mesures, mais l'algèbre franchement ça me dépasse, je pige plus rien.
Réponses
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Le graphe de la valeur absolue est une sous variété de classe $C^0$.Le 😄 Farceur
-
Bonjour
Voici un truc qui peut marcher pour montrer que quelque chose n'est pas une sous-variété en utilisant un peu de topologie.
Exemple: $\Gamma=\{(x,y)\in\R^2\|\ y^2-x^2=0\}$. Le seul point douteux est $(0,0)$ et $\Gamma\setminus\{0,0\}$ est une sous-variété de dimension 1. Pour tout voisinage $V$ de $(0,0)$ on voit que $V\cap (\Gamma\setminus \{0,0\})$ a 4 composantes connexes. Or une sous-variété de dimension 1 privée d'un point n'en a que deux! -
Pour $\Gamma_2$ : pourquoi $c_1(t) \geq 0$ ? Ce n'est pas plutôt $c_2$ qui est positive ? Enfin j'ai l'impression que tu (ou je) t'embrouilles un peu entre $c_1$ et $c_2$. A part ça, ça a l'air correct (enfin il faut rajouter "un espace vectoriel de dimension $1$"; parce que jusqu'aux dernières nouvelles, l'espace vectoriel nul existe)
Une remarque: je n'ai pas lu ta preuve pour $\Gamma_1$; trop de $\partial$ :-D (même si de loin elle a l'air correcte) par contre je peux te dire qu'il y a une preuve bien plus simple pour celui-là (contrairement à $\Gamma_2$) précisément pour la raison que gebrane soulève : $\Gamma_2$ est une variété topologique lorsqu'elle est munie de la topologie induite; alors que $\Gamma_1$ n'est même pas une variété topologique ! (donc pour être un sous-variété ça va être tendu !)
Pire, $\Gamma_1$ n'est même pas homéomorphe à $\mathbb{R}^n$ au voisinage de $0$. Vois-tu pourquoi ?
Pour la topologie quotient, l'idée est simple (même si parfois pas facile à visualiser). Si on a une relation d'équivalence $R$ sur un espace topologique, on veut savoir ce qu'il se passe si on déclare que deux éléments $R$-équivalents sont égaux. D'un point de vue ensembliste, on le sait : on obtient l'ensemble des classes d'équivalence, c'est-à-dire l'ensemble quotient. Sauf que là on est dans un cadre topologique, donc on veut pas parler d'ensembles tout courts. Donc on veut mettre une topologie sur notre espace des classes d'équivalence. Mais on veut pas mettre n'importe laquelle, on a un "cahier des charges".
1) On veut que la projection canonique $p:X\to X/R$ (qui à chaque élément associe sa classe) soit continue: en effet si elle ne l'est pas bah ça casse toute l'idée quoi, de l'identification.
2) On veut pouvoir dire (en fait c'est surtout à ça que servent les quotients) "Bon on a une application $f:X\to Y$ continue, et dès lors que $x$ et $y$ sont $R$-équivalents, leurs images sont égales. Donc ça passe au quotient en $\tilde{f}: X/R\to Y$". Cette partie du cahier des charges on l'a déjà ensemblistement, c'est-à-dire qu'on a automatiquement une application $\tilde{f}: X/R \to Y$ telle que $\tilde{f}\circ p = f$. Mais à nouveau, là on est dans un cadre topologique, donc si ce n'est qu'une pauvre application pas continue bah c'est pas cool: c'est à ça que sert ce passage du cahier des charges.
Une fois qu'on a ce cahier des charges, on cherche les topologies qui satisfont ça. 1) nous dit qu'elles ne doivent pas avoir trop d'ouverts (parce qu'il faut que leur image réciproque par $p$ soient des ouverts); et 2) nous dit qu'elles doivent en avoir assez (parce que les images réciproques d'ouverts par $\tilde{f}$ sont des ouverts).
Cette tension entre peu d'ouverts et beaucoup d'ouverts donne naissance à la topologie qui a pile asse d'ouverts: on dit que $U\subset X/R$ est ouvert si et seulement si $p^{-1}(U)$ est ouvert. Il faut alors vérifier que c'est une topologie, mais c'est un exercice que je te laisse.
La partie "seulement si" assure que $p$ est continue. Maintenant exercice : cette topologie satisfait aussi 2) au sens où l'application ensembliste $\tilde{f}$ est continue pour cette topologie.
Et finalement, autre exercice: on ne s'est pas gourrés en choisissant cette topologie plutôt qu'une autre: c'est la seule topologie qui satisfait 1) et 2).
Maintenant tu te doutes que quand $R$ est sympathique l'espace quotient $X/R$ est sympathique : il a des propriétés qui se déduisent de celles de $X$ et il est bien manipulable et tout; mais quand $R$ n'est pas sympathique, $X/R$ ne l'est pas non plus. Par chance (sic) en géométrie différentielle, on s'intéresse surtout (au moins au début) à des espaces sympas, et les relations par lesquelles on quotiente sont sympa aussi en général; typiquement ce seront les relations induites par une action d'un groupe de Lie. -
Je redis c'est absurde de parler d'une sous-variété sans parler de sa classe
Le graphe de la valeur absolue est une sous-varieté de classe $C^0$
Le graphe de la valeur absolue n'est pas une sous-varieté de classe $C^m$ si m>0Le 😄 Farceur -
D'accord avec gebrane. De classe $C^{quelque ~ chose}$ implique de classe $C^{0}$. Donc si ce n'est pas $C^{0}$(argument topologique comme Magnolia le dit.). c'est fini. Sinon on peut affiner avec des arguments "lisses".
-
Soit $C$ le cône dans $\R^3$ (l'enemble des $(x,y,z)$ tels que $x^2+y^2 = z^2$). Soit $f$ une carte locale en $0$ (par définition des sous-variétés: i.e. il existe des voisinages $V,W$, de $0$ et un entier $d$ tels que $f$ est un difféomorphisme de $V$ dans $W$ envoyant $0$ sur $0$ et tel que $f^{-1}\left ( \R^d \times \{0\}^{3-d} \cap W \right) = C\cap V$).
Soient $a:=(1,0,1)$, $b:=(0,1,1)$ et $c:= \left (\frac{1}{\sqrt 2}, \frac{1}{\sqrt 2},1 \right )$. Alors $(a,b,c)$ est une base de $\R^3$ et pour tout $t\in \R$, $ta,tb,tc$ sont dans $C$. Pour tout $v\in \R^3$, $D_0f(v)= \frac{d}{dt}f (tv)|_{t = 0}$.
Ceci entraîne, (comme pour tout $t\in \R$,$\{f(ta),f(tb), f(tc)\} \subseteq f(C) = \R^d \times \{0\}^{3-d} $), que (en dérivant), les vecteurs $D_0f(a),D_0f(b)$ et $D_0f(c)$ sont dans cet espace or ils forment une base de $\R^3$ (car $D_0 f$ est inversible).
Ainsi $d=3$ et $f(C) = W$ et donc $V \subseteq C$. Cela contredit le fait que $C$ est d'intérieur vide (un polynôme non constant ne s'annule jamais sur une boule).Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Pour le cas général, si votre objet contient un "angle" il sera au voisinage de ce point de dimension trop grande (tout l'espace dans le cas du cône); l'idée est de trouver des courbes dessus dont les dérivées au point "pathologique" considéré vont engendrer un espace plus grand que l'espace tangent.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
-
> l'idée est de trouver des courbes
> dessus dont les dérivées au point "pathologique"
> considéré vont engendrer un espace plus grand
> que l'espace tangent.
Oui, ça m'a l'air particulièrement vrai lorsqu'on considère le cône $x^2 + y^2 - z^2 $, mais pour le graphe de la valeur absolue $\{ x , |x| \}$ et bien je n'arrive plus du tout à appliquer le raisonnement valable pour le cône, parce que la courbe $(t,t)$ n'est pas incluse dans le graphe. Lorsqu'on considère un "demi-cône" et pas le cône complet $x^2 + y^2 - z^2 $ c'est plus tricky.
Merci beaucoup pour la réponse Maxtimax, j'ai un peu mieux compris cette notion de topologie quotient. J'espère que ça me permettra d'avancer dans l'ouvrage de Lafontaine.
Gebrane, lorsque je lis le livre, ils parlent de "sous-variétés" pour désigner des "sous-variétés $\mathcal{C}^1$, j'ai bien compris que le graphe de valeur absolue peut être redressée en une ligne de façon continue, mais pas "lisse", mais entre le dire et le démontrer il y a un abîme, je trouvais ça assez difficile de montrer que la valeur absolue n'est pas une sous-variété lisse à cause d'un point. -
@Scipion: si on prend les vecteurs a,b,c dont je parle dans mon message et qu'on calcule la dérivée à droite en $0$ des applications définies sur $[0,+\infty[$: $t\mapsto tx$ (avec $x=a,b,c$) on montre à nouveau (en supposant encore qu'il s'agit d'une variété)que l'espace tangent en $0$ du demi-cône (à 3ième coordonnée positive) $C$ contient une base de l'espace.
Pour le graphe de la valeur absolue, prendre $g(t):=(t,t)$ et $h(t):= (-t,t)$ avec $t\geq 0$ et les dériver à droite en $0$: à nouveau on a un espace tangent de dimension $2$ en $0$ et une absurdité.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
@Foys :
Est-ce licite ? Dans ma définition de vecteur tangeant, on impose que la courbe soit définie sur un ouvert du type $]-k,k[$ , on ne prend pas de dérivées unidirectionnelles. Lafontaine dit "cette définition consistant à prendre des courbes définies sur des ouverts centrées en zéro est donc beaucoup plus restrictive que celle d'imposer des courbes définies sur $[0,k[$ . -
Rappelons que si l'ensemble $M$ est une sous-variété $C^k$ ($k\geq 1$) de dimension $d$ dans $\R^n$, alors par définition, si $a\in M$, il existe deux ouverts $v,W$ de $\R^n$ tels que $a \in V$, $0 \in W$, et il existe $g: V \to W$ difféoomorphisme $C^k$ de $V$ dans $W$ tel que $g^{-1}(W \cap \R^{d} \times \{0\}^{n-d})=M \cap V$. Ca veut dire ça et strictement rien d'autre.
En maths il faut s'en tenir aux définitions.
1°) Si $u \in \R^d \times \{0\}^{n-d}$, $\left( D_a g\right)^{-1}(u)$ est un vecteur tangent à $M$ en $a$ (puisque c'est la dérivée en $0$ de $t \in ] -\varepsilon,\varepsilon [ \mapsto g^{-1} ( tu ) $ avec $\varepsilon$ assez petit pour que $tu \in W$ pour tout $t\in ]-\varepsilon, \varepsilon[$).
2°) Soit maintenant $v \in \R^n$.
Soient $r>0$ et $\gamma: [0,r[ \to M$ une fonction dérivable à droite en $0$ telle que la dérivée à droite en $0$ de $g$
vaut $v=:g_d'(0)$.
Soit $r'$ tel que $\gamma ([0,r'[) \subseteq M \cap V$ (puisque la fonction est dérivable à droite en $0$ un tel $r'$ existe ).
Alors $g \circ \gamma(s) \in \R^d \times \{0\}^{n-d} \cap W$ pour tout $s \in [0;r'[$.
Alors par composition des dérivées à droite (qui marche exactement comme la composition des dérivées),
$$D_a g (v) =D_{\gamma(0)} g \left( \gamma'_d (0) \right ) = \lim_{s \to 0,s>0} \frac{g \circ \gamma(s)-g \circ \gamma(0)}{s} \in \R^d \times \{0\}^{n-d}$$.
Ainsi $v =(D_a g)^{-1} \circ D_a g (v)$ est un vecteur tangent d'après 1°).Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
J'aime bien le raisonnement de Foys pour le graphe de la valeur absolue, je détailles ce que j'ai compris
On note G le graphe de la valeur absolue et supposons
qu'il existe voisinage $U$ de (0,0) , une submersion $f : U \rightarrow \mathbb{R}$ de classe $C^1$ telle que $G \cap U = f^{-1}(\{0\})$
Comme Foys l'indique, on considère $g (t)=(t,t)$ et $h (t)=(-t,t)$ de $[0,\epsilon[ \rightarrow \mathbb{R}^2$ de telle facon que pour $\epsilon$ assez petit, les graphes de g et h sont dans $G \cap U$. Donc
$f\circ g$ et $f\circ h$ constantes sur $[0,\epsilon[$ (*)
Les dérivées à droite en $0$, de g et h sont : $g'(0) = (1,1)$ et $h'(0) = (-1,1)$.
Puisque $f$ est $C^1$, les dérivées à droite en $0$ de $f\circ g$ et $f\circ h$ sont : $D_{(0,0)} f(1,1)$ et $D_{(0,0)}f(-1,1)$.. On déduit d’après (*) que $D_{(0,0)}f(-1,1) = D_{(0,0)}f(1,1) =0$,c'est à dire $D_{(0,0)} f$ est partout nulle, donc f n'est pas surjective, et donc $f$ n'est pas une submersion.
(Ici on a pas besoin de parler de l'espace tangent en 0 qui est par définition $T_0=ker (D_0f)$ donc de dimension 2 )Le 😄 Farceur
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