Famille localement finie
dans Topologie
Bonjour,
Je cherche à montrer que si $(X,\mathcal{T})$ est un espace topologique et que $(A_i)_{i\in I}$ est une famille localement finie de $X$, alors : \[ \bigcup_{i \in I}\overline{A_i} = \overline{ \bigcup_{i \in I} A_i } \]
J'ai déjà montré l'inclusion directe, mais la réciproque me pose problème. Auriez-vous des indications?
Je cherche à montrer que si $(X,\mathcal{T})$ est un espace topologique et que $(A_i)_{i\in I}$ est une famille localement finie de $X$, alors : \[ \bigcup_{i \in I}\overline{A_i} = \overline{ \bigcup_{i \in I} A_i } \]
J'ai déjà montré l'inclusion directe, mais la réciproque me pose problème. Auriez-vous des indications?
Réponses
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Être fermé est une propriété locale ($F$ est fermé dans $X$ si et seulement si, pour tout $x\in X$, il existe un voisinage $V$ de $x$ dans $X$ tel que $F\cap V$ est fermé dans $V$) et une union finie de fermés est fermée. Une union localement finie de fermés est donc fermée.
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Ta définition d'une famille localement fini est
tout x de X a un voisinage qui intersecte seulement un nombre fini d’éléments de la famille ?Le 😄 Farceur -
Qu'est-ce que ça pourrait être d'autre ?
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Les enseignants ne sont pas unanimes sur les définitions (exemple définition de $\overline A$ )Le 😄 Farceur
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Je te demande quelle pourrait être une autre notion de "famille localement finie" ?
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J'ai connu cette notion en analyse complexe. Les zéros d'une fonction holomorphe forment un ensemble localement fini et aussi en géométrie différentielle : recouvrement localement fini. Je ne l'avais pas vu dans mon cours de topologie généraleLe 😄 Farceur
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Tu remarqueras, gebrane, qu'à chaque fois ça signifie "pour tout $x$, il existe un voisinage tel que ... est fini"
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@Maxtimax
C'est la signification que je connaissais. Mais puisque je ne connaissais cette définition en topologie, je pouvais croire que localement fini signifie pour tout x il existe un voisinage compact de x rencontrant ...
Il ne faut pas trop rire car le mot " localement" en analyse peut faire intervenir les compacts (localement intégrable par exemple)Le 😄 Farceur -
gebrane : en analyse, les définitions utilisant les compacts sont des raccourcis; et c'est toujours la "vraie" notion de localité qui est derrière.
Petit exercice: vérifier qu'une fonction sur $\R^n$ par exemple est "localement intégrable" (au sens utilisé dans les cours d'analyse usuels, i.e. avec les compacts) si et seulement si elle est localement intégrable (i.e. pour tout $x$, il existe un voisinage de $x$ sur lequel elle est intégrable). -
Bonsoir et merci. Oui gebrane c'était bien cette définition.
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