Base d'ouverts

J'aurais du chercher un peu plus :

Soit $\mathcal{B}_0 = (B_i)_{i\in I}$ une base d'ouverts de $(X,\mathcal{T})$. Posons $A=\{ i \in I \mid B_i = \emptyset \}$, et $\mathcal{B}= (B_i)_{i\in I \backslash A}$. Alors, si $U$ est un ouvert de $(X,\mathcal{T})$, il existe $J \subset I$ tel que $U = \bigcup_{i \in J} B_i$. Soit $K = J \backslash A$, alors $K \subset I \backslash A$, et $U = \bigcup_{i \in K} B_i$. Donc $\mathcal{B}$ répond à la question.

Je veux bien que vous me confirmiez si ma démonstration est juste, merci.

Oui merci c'est vrai je me suis compliqué la vie.