Équivalence pour la continuité

Merci, c'est bon.

Comme $A \subset f^{-1} \left ( f(A) \right )$ (en effet $x \in A \Rightarrow f(x) \in f(A) \Leftrightarrow x \in f^{-1} \left ( f(A) \right )$), et que $f(A) \subset \overline{f(A)}$, on a $A \subset f^{-1} \left ( \overline{f(A)} \right )$. Par hypothèse, $f^{-1} \left ( \overline{f(A)} \right )$ est un fermé de $A$, qui de plus plus contient $A$, donc $\overline{A} \subset f^{-1} \left ( \overline{f(A)} \right )$. Ceci implique que $f (\overline{A}) \subset f \left ( f^{-1} \left ( \overline{f(A)} \right ) \right )$, et donc que $f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}$, car pour tout ensemble $E$ et toute application $f$, $f \left (f^{-1}(E) \right ) \subset E$.