Applications ouvertes et fermées

Boole et Bill · July 2018

Bonjour,
J’eprouve des difficultés à montrer la remarque suivante:

Soient $X$ et $Y$ deux espaces topologiques et $f:X \rightarrow Y$ une application bijective. Alors $f$ est ouverte si et seulement si elle est fermée.

Auriez-vous des indications? Merci.

aléa · July 2018

Tu peux chercher le lien entre $f(A)$ et $f(X\backslash A)$.

Algèbre · July 2018

Une bijection envoie les complémentaires sur les complémentaires des images.

Ça ne marcherait pas par exemple si $f$ est injective continue du cercle dans $\mathbb{R}$ : elle est fermée mais non ouverte (car les compacts de $\mathbb{R}$ ne sont jamais ouverts donc avec le cercle comme ouvert l'image n'est pas ouverte).

Boole et Bill · July 2018

Merci pour vos retours, je reviendrai quand je pourrai (je ne peux pas trop aller sur internet ces derniers temps).

Boole et Bill · August 2018

Bonjour à tous,

Pour montrer la remarque : Supposons que $f:X \rightarrow Y$ soit ouverte, et soit $F$ un fermé de $X$.Comme $X \backslash F$ est ouvert, $f(X \backslash F)$ est ouvert. Or, $f$ est bijective, donc $f(X \backslash F) = Y \backslash f(F)$, d'où $f(F)$ est fermé, comme complémentaire d'un ouvert. En échangeant les rôles des mots fermé et ouvert, on montre l'implication réciproque.

Applications ouvertes et fermées

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 22