Les différents types d'EV topologiques
Bon j'ai une problématique assez vaste et j'espère que ça ne va pas devenir trop fouillis. Je vais numéroter les questions pour qu'on arrive à s'en sortir.
Pour l'instant, je vais limiter mes questions aux EV sur $\mathbb{K} = \mathbb{R} \text{ ou } \mathbb{C}$, parce que c'est déjà assez compliqué comme ça, alors soyez gentils et limitez vos réponses à ça vous aussi :-D .
D'abord j'ai une question en dimension finie.
Un EV de dimension finie est isomorphe à un $\mathbb{K}^n$, qui est pourvu d'un produit scalaire (réel, ou "euclidien" d'un côté, complexe ou "hermitien" de l'autre) "standard" qui en fait un espace préhilbertien, ce produit scalaire induit une norme, qui induit une distance, qui induit une topologie, et on peut montrer que $\mathbb{K}^n$ est complet (produit fini d'espaces métriques complets), tout ça pour pouvoir dire : tout $\mathbb{K}$-EV de dimension finie possède une structure d'espace de Hilbert.
1) En général, la topologie que je viens de mentionner est appelée "topologie de la norme" car on peut montrer que, comme toutes les normes sont équivalentes dans le cas de la dimension finie, les distances associées à ces normes induisent toutes la même topologie, et c'est cette topologie-là qu'on utilise tout le temps (en tout cas jusqu'à l'agreg :-D ). Est-ce que quelqu'un sait s'il existe sur $\mathbb{K}^n$ d'autres topologies qui sont métrisables (voire même complètes) qui confèrent à $\mathbb{K}^n$ une structure d'EV topologique ? Donc je veux dire : non issues d'une norme ?
Pour le cas de la dimension infinie, j'ai d'autres questions. Alors allons-y.
(auto-rappel : un $\mathbb{K}$-EV topologique n'est pas forcément métrisable. Mon cours d'analyse fonctionnelle contenait un exemple ou deux d'espace fonctionnel non métrisable)
Un jour, j'ai découvert le théorème de Fréchet-von Neumann-Jordan (lisez l'article Wikipédia ici si vous êtes curieux et ne connaissez pas encore) qui donne une condition nécessaire et suffisante (constructive !!!) pour qu'une norme dérive d'un produit scalaire. Donc ce théorème permet (entre autres) de savoir si un espace de Banach est un espace de Hilbert, ceux-ci disposant d'une théorie plus forte et plus algébrique/géométrique/intuitive. En voyant ça, j'ai voulu pousser le bouchon un peu plus loin...
2) Supposons qu'on soit en présence d'un $\mathbb{K}$-EV topologique métrisable. Y a-t-il une condition nécessaire et suffisante pour que la distance qui induit la topologie soit issue d'une norme ? Si oui, existe-t-il une preuve constructive pour cette norme (c'est-à-dire une preuve dans laquelle on identifie la norme par une formule) ? Le but étant de pouvoir vérifier, en présence d'un EVT métrisable et complet, si c'est un espace de Banach (pour lesquels, encore une fois, on dispose d'une théorie spécifique plus forte que pour les EVT généraux)
3) J'ai donc évidemment cherché, partant d'un $\mathbb{K}$-EV topologique, s'il existait une condition nécessaire et suffisante pour qu'il soit métrisable et le seul truc que j'ai trouvé pour l'instant c'est cet article Wikipédia sur le critère de métrisabilité de Nagata-Smirnov et le théorème de métrisabilité de Smirnov, qui donne effectivement une CNS pour qu'un espace topologique soit métrisable. L'ennui (pour moi en tout cas) c'est que leur théorème, il dit, "pour que l'EVT soit métrisable, il faut entre autres qu'il soit localement métrisable", donc on se mord la queue... à moins que quelqu'un connaisse un critère "simple" pour qu'un EVT soit localement métrisable ?
En tout cas je remercie ceux qui ont eu le courage de lire jusqu'au bout :-D pfiou
Je précise juste un dernier truc : mon niveau en topologie/analyse fonctionnelle ne dépasse pas vraiment celui de l'agrégation, d'ailleurs c'est en réfléchissant à mon cours d'AF que ces questions me sont venues. Prière de ne pas m'assommer avec des trucs trop avancés :-D
Pour l'instant, je vais limiter mes questions aux EV sur $\mathbb{K} = \mathbb{R} \text{ ou } \mathbb{C}$, parce que c'est déjà assez compliqué comme ça, alors soyez gentils et limitez vos réponses à ça vous aussi :-D .
D'abord j'ai une question en dimension finie.
Un EV de dimension finie est isomorphe à un $\mathbb{K}^n$, qui est pourvu d'un produit scalaire (réel, ou "euclidien" d'un côté, complexe ou "hermitien" de l'autre) "standard" qui en fait un espace préhilbertien, ce produit scalaire induit une norme, qui induit une distance, qui induit une topologie, et on peut montrer que $\mathbb{K}^n$ est complet (produit fini d'espaces métriques complets), tout ça pour pouvoir dire : tout $\mathbb{K}$-EV de dimension finie possède une structure d'espace de Hilbert.
1) En général, la topologie que je viens de mentionner est appelée "topologie de la norme" car on peut montrer que, comme toutes les normes sont équivalentes dans le cas de la dimension finie, les distances associées à ces normes induisent toutes la même topologie, et c'est cette topologie-là qu'on utilise tout le temps (en tout cas jusqu'à l'agreg :-D ). Est-ce que quelqu'un sait s'il existe sur $\mathbb{K}^n$ d'autres topologies qui sont métrisables (voire même complètes) qui confèrent à $\mathbb{K}^n$ une structure d'EV topologique ? Donc je veux dire : non issues d'une norme ?
Pour le cas de la dimension infinie, j'ai d'autres questions. Alors allons-y.
(auto-rappel : un $\mathbb{K}$-EV topologique n'est pas forcément métrisable. Mon cours d'analyse fonctionnelle contenait un exemple ou deux d'espace fonctionnel non métrisable)
Un jour, j'ai découvert le théorème de Fréchet-von Neumann-Jordan (lisez l'article Wikipédia ici si vous êtes curieux et ne connaissez pas encore) qui donne une condition nécessaire et suffisante (constructive !!!) pour qu'une norme dérive d'un produit scalaire. Donc ce théorème permet (entre autres) de savoir si un espace de Banach est un espace de Hilbert, ceux-ci disposant d'une théorie plus forte et plus algébrique/géométrique/intuitive. En voyant ça, j'ai voulu pousser le bouchon un peu plus loin...
2) Supposons qu'on soit en présence d'un $\mathbb{K}$-EV topologique métrisable. Y a-t-il une condition nécessaire et suffisante pour que la distance qui induit la topologie soit issue d'une norme ? Si oui, existe-t-il une preuve constructive pour cette norme (c'est-à-dire une preuve dans laquelle on identifie la norme par une formule) ? Le but étant de pouvoir vérifier, en présence d'un EVT métrisable et complet, si c'est un espace de Banach (pour lesquels, encore une fois, on dispose d'une théorie spécifique plus forte que pour les EVT généraux)
3) J'ai donc évidemment cherché, partant d'un $\mathbb{K}$-EV topologique, s'il existait une condition nécessaire et suffisante pour qu'il soit métrisable et le seul truc que j'ai trouvé pour l'instant c'est cet article Wikipédia sur le critère de métrisabilité de Nagata-Smirnov et le théorème de métrisabilité de Smirnov, qui donne effectivement une CNS pour qu'un espace topologique soit métrisable. L'ennui (pour moi en tout cas) c'est que leur théorème, il dit, "pour que l'EVT soit métrisable, il faut entre autres qu'il soit localement métrisable", donc on se mord la queue... à moins que quelqu'un connaisse un critère "simple" pour qu'un EVT soit localement métrisable ?
En tout cas je remercie ceux qui ont eu le courage de lire jusqu'au bout :-D pfiou
Je précise juste un dernier truc : mon niveau en topologie/analyse fonctionnelle ne dépasse pas vraiment celui de l'agrégation, d'ailleurs c'est en réfléchissant à mon cours d'AF que ces questions me sont venues. Prière de ne pas m'assommer avec des trucs trop avancés :-D
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Réponses
Je ne sais pas répondre à tes autres questions.
Je répondais naïvement à ça.
J'ai aussi corrigé une erreur dans mon premier message : Je partais du principe qu'un espace vectoriel de dimension finie, s'il possède une topologie métrisable, est forcément complet, ce qui n'a aucune raison d'être vrai a priori. La topologie de la norme est toujours complète en dimension finie mais je ne connais aucun résultat sur les autres topologies (vu que je n'en connais pas d'autre, d'où ma question 1) :-D)
J'ai trouvé ça, je ne savais pas qu'un $\mathbb{K}$-EVT séparé était forcément complet.
@mojojojo : je lirai ça, merci :-)
Même pas 10 messages et c'est déjà le bordel :-D
Pour que $N$ sur une norme sur $E$, il faut :
1) $\forall x \in E (N(x) = 0 \Longrightarrow x=0)$
C'est toujours vérifié : $N(x) = 0 \Longleftrightarrow d(x,0)=0 \Longleftrightarrow x=0$ car $d$ est une distance
2) $\forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall x \in E, N(\lambda x) = |\lambda|N(x)$
On peut réécrire ça par rapport à $d$ : il faut que $d(\lambda x, 0) = | \lambda| d(x,0)$
3) $\forall x \in E, \forall y \in E, N(x+y) \leqslant N(x) + N(y)$
Par rapport à $d$ : $d(x+y,0) \leqslant d(x,0) + d(y,0)$
Pour finir, il faut que $d$ soit associée à $N$, c'est-à-dire : $\forall x, \forall y, d(x,y) = N(x-y)$
Par rapport à $d$ : $d(x,y) = d(x-y,0)$
Pour résumer :
Soit $E$ un $\mathbb{K}$-EV muni d'une distance $d$.
$N : E \longrightarrow \mathbb{R}_+, x \longmapsto d(x,0)$ est une norme sur $E$ et c'est la norme associée à la distance $d$ si, et seulement si , $d$ vérifie les 3 propriétés suivantes :
i) $\forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall x \in E, d(\lambda x, 0) = | \lambda| d(x,0)$
ii) $\forall x \in E, \forall y \in E, d(x+y,0) \leqslant d(x,0) + d(y,0)$
iii) $\forall x \in E, \forall y \in E, d(x,y) = d(x-y,0)$
En effet, si deux normes sont associées à la même distance : $d(x,y) = N(x-y) = N'(x-y)$ pour tous $x,y$ alors en prenant $y=0$ on trouve $N(x) = N'(x)$ pour tout $x$, ie $N=N'$.
Donc si un "espace vectoriel métrique" est "normable", alors il n'existe qu'une seule norme qui puisse induire la distance, celle donnée par Max. A moins que j'ai fait une bêtise ?
Là ou je voulais en venir : si un EVT $E$ est métrisable, combien y a-t-il de structures d'EVN sur $E$ qui induisent sa topologie ? Il y en a au plus une. Donc en particulier, si un EVT est métrisable et complet, alors il possède au plus une structure d'espace de Banach. (bon, par contre, si on a un EVT métrisable, il faut encore identifier une distance...)
Sur $\mathbb{K}^n$, il existe une unique topologie qui soit complète, et c'est la topologie de la norme. On peut prendre n'importe quelle norme pour obtenir cette topologie, donc autant prendre une norme issue d'un produit scalaire. Donc $\mathbb{K}^n$ (et, par suite, n'importe quel $\mathbb{K}$-EV de dimension finie) possède une unique topologie complète, qui munit $\mathbb{K}^n$ d'une structure d'espace de Hilbert quel que soit le produit scalaire considéré.
Donc le cas de la dimension finie, c'est réglé.
Donc non, a priori un EVT peut avoir plusieurs "structures d'espaces de Banach" (même en incluant la norme dans ladite structure)
En vrai, ce qui m'intéresse c'est de comprendre un peu mieux ce qu'il existe comme EVT complets. Je ne suis pas topologue, je me contente (pour l'instant du moins) de comprendre l'analyse et l'analyse fonctionnelle à mon niveau (donc le programme de l'agreg, voire un peu au-delà si je trouve quelque chose qui m'intéresse).
Les EVT c'est compliqué, je mets de côté pour l'instant les espaces qui ne sont pas complets (comment fait-on de l'analyse dans un espace métrique non complet ?), peut-être un jour j'oserai omettre la complétude et je me contenterai de demander la séparation (l'unicité de la limite, quand elle existe, c'est quand même vachement bien pour faire de l'analyse) mais pour l'instant je préfère rester en terrain plutôt connu. En M1 on avait fait un chapitre sur les EVT localement convexes (et encore, le mot semi-norme était seulement évoqué..), il y en a qui ne sont pas complets, j'attendrai un peu avant de me remettre à ça.
Pour l'instant, je me sens à peu près à l'aise dans les espaces euclidiens/hermitiens, les espaces de Banach, les espaces de Hilbert. Les "autres" EVN (de dimension infinie mais non complets), j'ai encore un peu de mal à voir comment on peut les étudier en analyse/analyse fonctionnelle. Quand je me sentirai bien à l'aise avec tous ceux-là, je regarderai peut-être les espaces de Fréchet, ça a l'air intéressant :-D
Il suffit de prendre l'espace des fonctions holomorphes sur le disque unité : $\mathcal{H}(\mathbb{D}),$ muni de la convergence uniforme sur les compacts!
Cet espace n'est jamais "normable" car si tel était le cas, cet espace serait de dimension finie (cf théorème de Riesz)... Les compacts de cet espace sont précisément les ensembles fermés bornés (cf théorème de Montel).
Comme dit j'ai envie de les étudier un jour
Ce qui se fait beaucoup c'est de partir d'un espace de Banach (donc normé et complet), de regarder son dual $B'$ et sur $B'$ on peut regarder plusieurs topologies intéressantes. Il y en a au moins 3 classiques : la topologie induite par la norme sur $B$, la topologie faible et la faible-*. Ces trois topologies munissent $B'$ d'une structure d'EVT séparé localement convexes mais les deux dernières ne sont pas métrisables. Ça donne déjà de bons exemples d'espaces fonctionnels que l'on rencontre souvent en pratique : Les espaces $L^p$ les espaces de Sobolev, les espaces du genre $C^0_c$ et leurs duaux avec diverses topologies. Le Brezis est une référence classique à ce sujet. Il existe évidemment d'autres espaces vectoriels topologies très utiles en analyse (comme $\mathcal H (U)$ ou $\mathcal S'(\R)$) mais c'est déjà un bon début je pense.
Si tu préfères, je peux dire que je m'intéresse aux espaces vectoriels de dimension infinie et complètement métrisables :-D
Les écarts, semi-normes etc c'est pour un peu plus tard
Le truc à retenir c'est que mes motivations sont celles de quelqu'un qui prépare l'agrégation, donc je ne m'occupe pour l'instant que d'espaces dans lesquels on peut faire de l'analyse. Donc je sais très bien qu'un "EVT complet" n'a de sens que si la topologie est métrisable, s'il n'aime pas que je dise ça, ben, je le dis quand même :-D . Parce qu'on nous fera rarement étudier un EVT non métrisable (sauf s'ils faisaient un sujet d'agreg de topologie abstraite, mais ça m'étonnerait) à notre niveau, parce qu'on ne sait pas encore en dire grand-chose et qu'on ne sais pas trop comment ça s'étudie. Même des EV métriques non complets, je ne pense pas que j'en croiserai souvent dans un sujet de concours.