Ouvert dans métrisable loc compact séparable

Merci pour votre réponse.

Dans R (qui a les hypothèses voulues), je sais que l'ensemble des intervalles ouverts bornés, centrés en des rationnels et de rayons rationnels est une base dénombrable d'ouverts.
Si je prends un intervalle ]a , b[ qui soit un élément de cette base (à extrémités rationnelles, donc), je peux le réaliser comme la réunion dénombrable des compacts [a + 1/n , b - 1/n].
De là, tout ouvert de R, qui est une réunion dénombrable d'éléments de la base citée ci-dessus, est (par associativité de la réunion) une réunion dénombrable de compacts.

Pour un ensemble X quelconque, je ne vois pas encore l'argument permettant de conclure.

Localement compact veut dire ici que tous les points ont un voisinage compact.
C'est le cas de mes a_n, par exemple.

B_{n,m} est une base de topologie car :

D'abord tout x dans X est dans une boule B_{n,m} : en effet, si je fixe m>0 (entier) je peux trouver par densité un a_n à distance au plus 1/m de mon x. Il est donc dans la boule de centre ce a_n et de rayon 1/m.

Ensuite je prends deux boules du type B_{n,m}. Si leur intersection est vide, c'est bien une réunion quelconque d'éléments du type B_{n,m} (la réunion de la famille vide). Sinon je prends un point dans l'intersection de ces deux boules et je peux trouver une boule centrée en ce point et incluse dans l'intersection des deux premières (il suffit de prendre un rayon suffisamment petit). Si je fais cette opération pour chaque point de l'intersection, je réalise l'intersection comme une union (quelconque) de boules du type B_{n,m}

D'accord merci de la recommandation.
Sinon comment écrire en latex ?

Je n'y arrive décidément pas...

Oui je réfléchis aussi autour de cette définition depuis un certain temps.

Est-ce que vous pourriez m'aider sans me donner la solution pour autant ?

Soit $U$ un ouvert de $X$.

Pour chaque $x\in U$, on note $\mathcal{U}_x$ une base de voisinages compacts de $x$.
Pour $x\in U$, comme $U$ est un voisinage de $x$, $\exists C_x\in\mathcal{U}_x$ tel que $$x\in C_x\subset U$$
et $U$ peut s'écrire comme une réunion de compacts, en l'occurence
$$U=\bigcup_{x\in U} C_x$$
Mais cette réunion n'est pas dénombrable.

Notons $\{O_k\}_{k\geq 1}$ une base dénombrable d'ouverts (dont l'existence provient de séparable + métrisable).

Soit $U$ un ouvert de $X$. Il existe $A\subset\mathbb{N}^*$ telle que $U=\bigcup_{k\in A} O_k$.
Soit $x\in U$.
Par définition d'une base, il existe $k\in A$ tel que $x\in O_k$.

Comme $O_k$ est un ouvert, c'est un voisinage de $x$ donc il contient un compact $C_k$

Mais la réunion des $C_k$ pour $k$ dans $A$ n'est pas égale à $U$....

J'ai trouvé une démo, mais elle est sûrement perfectible (je veux dire moins lourde).

En fait, comme vous l'avez mentionné plus haut, on peut déjà remarquer que, dans un espace métrique $X$, si un point possède un voisinage compact, il possède même une base de voisinages compacts (réciproque évidente). En effet si $x\in X$ et $C$ un voisinage compact de $x$, alors le point $x$ possède (dans le sous-espace $C$) une base de voisinages fermés (dans $C$), donc compacts (dans $C$). Or les éléments de cette base sont aussi compacts dans $X$ et sont des voisinages de $x$ dans $X$.

Je prends maintenant $X$ un espace métrisable, localement compact et séparable. On veut montrer que tout ouvert de $X$ est une réunion dénombrable de compacts.

Soit $U$ un ouvert de $X$.

On a déjà vu que $X$ est à base dénombrable d'ouverts (ce qui découle de sa métrisabilité jointe à sa séparabilité). On note alors $\mathcal{B}=\{W_k\}_{k\in\mathbb{N}}$ une telle base (par exemple celle proposée plus tôt, mais peu importe).

Par ailleurs, tout point de $z\in X$ admet un système fondamental de voisinages compacts $\mathcal{V}_z$ (compacité locale dans $X$ métrique).
On fixe alors $x\in U$. Comme $U$ est ouvert, c'est un voisinage de $x$ et donc il existe $C_x\in\mathcal{V}_x$ avec $C_x\subset U$. Or le compact $C_x$ est un voisinage de $x$ donc il existe $O_x$ un ouvert de $X$ satisfaisant $$x\in O_x\subset C_x\subset U$$ On en déduit que $$U=\bigcup_{z\in U} O_z = \bigcup_{z\in U} C_z$$ On va maintenant se servir de notre base dénombrable $\mathcal{B}$. Comme $O_x$ est un ouvert de $X$ il est une réunion (au plus) dénombrable d'éléments de $\mathcal{B}$ : il existe $A_x\subset \mathbb{N}$ telle que :$$O_x = \bigcup_{k\in A_x} W_k$$Je considère alors l'ensemble dénombrable $A=\bigcup_{z\in U} A_z\subset \mathbb{N}$ et j'écris $A = \{k_j~|~j\in\mathbb{N}\}$.

Chaque $k_j$ est dans $A$ donc pour tout $j\in\mathbb{N}$, il existe $z_j\in U$ tel que
$$k_j\in A_{z_j}$$
De sorte que $A=\bigcup_{j\in\mathbb{N}} A_{z_j}$. Par suite, $$U=\bigcup_{z\in U} O_z =\bigcup_{z\in U}\bigcup_{k\in A_z} W_k=\bigcup_{k\in\bigcup_{z\in U} A_z} W_k=\bigcup_{k\in A} W_k=\bigcup_{j\in\mathbb{N}} W_{k_j}$$

J'affirme maintenant que $$U=\bigcup_{j\in\mathbb{N}}C_{z_j}$$
En effet : l'inclusion de la gauche vers la droite est claire et si $\omega \in U$, par ce qui précède, il existe $j\in \mathbb{N}$ tel que $\omega\in W_{k_j}$. Mais comme $k_j\in A_{z_j}$, $$\omega\in W_{k_j}\subset\bigcup_{l\in A_{z_j}}W_l=O_{z_j}\subset C_{z_j}$$

Donc $U$ est bien $\sigma$-compact.

Merci encore.

Il faudrait bien que cette réunion dénombrable puisse même être (une réunion) croissante.

Sinon je vais avoir du mal à montrer que les ouverts (d'un tel espace) sont réguliers (en particulier intérieurement) pour des mesures boréliennes.
Est-ce facile?