Bonjour, je n'arrive pas à voir pour quelles raisons un ouvert dans un espace métrisable, localement compact et séparable peut s'écrire comme une réunion dénombrable de compacts.
Pourriez-vous m'éclairer ?
Dans R (qui a les hypothèses voulues), je sais que l'ensemble des intervalles ouverts bornés, centrés en des rationnels et de rayons rationnels est une base dénombrable d'ouverts.
Si je prends un intervalle ]a , b[ qui soit un élément de cette base (à extrémités rationnelles, donc), je peux le réaliser comme la réunion dénombrable des compacts [a + 1/n , b - 1/n].
De là, tout ouvert de R, qui est une réunion dénombrable d'éléments de la base citée ci-dessus, est (par associativité de la réunion) une réunion dénombrable de compacts.
Pour un ensemble X quelconque, je ne vois pas encore l'argument permettant de conclure.
Sais-tu déjà prouver que sous hypothèse que l'espace est métrisable et séparable, il a une base dénombrable d'ouverts (constitué de boules) ? Je ne sais pas si on peut s'en servir directement pour ton exercice, mais on peut au moins s'inspirer de la preuve.
Oui, il est séparable donc il contient une suite (a_n) dense (d'image dense).
Il est métrisable donc y a une distance qui définit sa topologie (et donc y'a des boules).
Pour n entier et m>0 entier, je pose B_{n,m} la boule ouverte de centre a_n et de rayon 1/m.
La famille des B_{n,m} pour (n,m) dans N x N* est une base dénombrable d'ouverts.
Maintenant il faut utiliser la compacité locale mais je suis bloqué
Ta démonstration est un peu rapide : comment démontres-tu que les $B_{n,m}$ forment une base de la topologie ?
Maintenant que tu as une base dénombrable de la topologie, tu peux oublier les $a_n$. Rappelle toi ce que tu veux montrer : que tout ouvert est réunion dénombrable de compacts. Et utilise la locale compacité dont tu as rappelé la définition.
D'abord tout x dans X est dans une boule B_{n,m} : en effet, si je fixe m>0 (entier) je peux trouver par densité un a_n à distance au plus 1/m de mon x. Il est donc dans la boule de centre ce a_n et de rayon 1/m.
Ensuite je prends deux boules du type B_{n,m}. Si leur intersection est vide, c'est bien une réunion quelconque d'éléments du type B_{n,m} (la réunion de la famille vide). Sinon je prends un point dans l'intersection de ces deux boules et je peux trouver une boule centrée en ce point et incluse dans l'intersection des deux premières (il suffit de prendre un rayon suffisamment petit). Si je fais cette opération pour chaque point de l'intersection, je réalise l'intersection comme une union (quelconque) de boules du type B_{n,m}
@leo_lk : je ne comprends pas l'argument à la fin de ton message. Tu as l'air de faire comme si chaque point de l'intersection était un point $a_n$ pour un certain $n$.
Ce qu'il te faut montrer c'est que pour tout $x\in E$ et tout $r>0$ il existe $n$ et $m>0$ tel que $x\in B_{n,m}\subset B(x,r)$.
Tu as oublié de préciser que $x\in B_{n,m}$. C'est évident, mais c'est indispensable de le dire. Il ne suffit pas d'avoir trouvé un $B_{n,m}$ contenu dans $B(x,r)$.
PS. Si tu modifies le contenu d'un message sur lequel un commentaire a été fait en effaçant la version précédente, on risque de ne plus comprendre le fil. Quand tu modifies, fais clairement apparaître la modification (en barrant la version précédente, par exemple).
Moi je préfère la définition (équivalente) suivante de localement compact : Un espace topologique séparé $X$ est localement compact si et seulement si tout point de $X$ admet une base de voisinages compacts.
Pour un espace métrique, c'est assez facile de voir que si un point admet un voisinage compact, alors il admet une base de voisinages compacts.
Récapitulons :
1) Tout point a une base de voisinages compacts.
2) Il existe une base dénombrable d'ouverts.
Avec ça, il s'agit de démontrer que tout ouvert $U$ est réunion dénombrable de compacts.
Soit $x\in U$ ...
Pour chaque $x\in U$, on note $\mathcal{U}_x$ une base de voisinages compacts de $x$.
Pour $x\in U$, comme $U$ est un voisinage de $x$, $\exists C_x\in\mathcal{U}_x$ tel que $$x\in C_x\subset U$$
et $U$ peut s'écrire comme une réunion de compacts, en l'occurence
$$U=\bigcup_{x\in U} C_x$$
Mais cette réunion n'est pas dénombrable.
Notons $\{O_k\}_{k\geq 1}$ une base dénombrable d'ouverts (dont l'existence provient de séparable + métrisable).
Soit $U$ un ouvert de $X$. Il existe $A\subset\mathbb{N}^*$ telle que $U=\bigcup_{k\in A} O_k$.
Soit $x\in U$.
Par définition d'une base, il existe $k\in A$ tel que $x\in O_k$.
Comme $O_k$ est un ouvert, c'est un voisinage de $x$ donc il contient un compact $C_k$
Mais la réunion des $C_k$ pour $k$ dans $A$ n'est pas égale à $U$....
Tu t'y prends dans le mauvais sens. Pars de ta famille de voisinages compacts $C_x$ de $x$ contenus dans $U$ pour $x$ parcourant $U$, et vois comment utiliser ta base dénombrable pour extraire de cette famille une sous-famille dénombrable dont la réunion est toujours $U$. N'oublie pas que $C_x$ est un voisinage de $x$. Définition de "voisinage" ?
Pour chaque $x\in U$, on note $\mathcal{U}_x$ un système fondamental de voisinages compacts de $x$ (dans $X$).
En choisissant pour chaque $x\in U$ un compact $C_x\in\mathcal{U}_x$, on obtient une famille $\{C_x\}_{x\in U}$ de voisinages compacts de $X$.
Par définition de voisinage, il existe pour tout $x\in U$, un ouvert $O_x$ tel que :
$$ x \in O_x \subset C_x \subset U$$
J'ai trouvé une démo, mais elle est sûrement perfectible (je veux dire moins lourde).
En fait, comme vous l'avez mentionné plus haut, on peut déjà remarquer que, dans un espace métrique $X$, si un point possède un voisinage compact, il possède même une base de voisinages compacts (réciproque évidente). En effet si $x\in X$ et $C$ un voisinage compact de $x$, alors le point $x$ possède (dans le sous-espace $C$) une base de voisinages fermés (dans $C$), donc compacts (dans $C$). Or les éléments de cette base sont aussi compacts dans $X$ et sont des voisinages de $x$ dans $X$.
Je prends maintenant $X$ un espace métrisable, localement compact et séparable. On veut montrer que tout ouvert de $X$ est une réunion dénombrable de compacts.
Soit $U$ un ouvert de $X$.
On a déjà vu que $X$ est à base dénombrable d'ouverts (ce qui découle de sa métrisabilité jointe à sa séparabilité). On note alors $\mathcal{B}=\{W_k\}_{k\in\mathbb{N}}$ une telle base (par exemple celle proposée plus tôt, mais peu importe).
Par ailleurs, tout point de $z\in X$ admet un système fondamental de voisinages compacts $\mathcal{V}_z$ (compacité locale dans $X$ métrique).
On fixe alors $x\in U$. Comme $U$ est ouvert, c'est un voisinage de $x$ et donc il existe $C_x\in\mathcal{V}_x$ avec $C_x\subset U$. Or le compact $C_x$ est un voisinage de $x$ donc il existe $O_x$ un ouvert de $X$ satisfaisant $$x\in O_x\subset C_x\subset U$$ On en déduit que $$U=\bigcup_{z\in U} O_z = \bigcup_{z\in U} C_z$$ On va maintenant se servir de notre base dénombrable $\mathcal{B}$. Comme $O_x$ est un ouvert de $X$ il est une réunion (au plus) dénombrable d'éléments de $\mathcal{B}$ : il existe $A_x\subset \mathbb{N}$ telle que :$$O_x = \bigcup_{k\in A_x} W_k$$Je considère alors l'ensemble dénombrable $A=\bigcup_{z\in U} A_z\subset \mathbb{N}$ et j'écris $A = \{k_j~|~j\in\mathbb{N}\}$.
Chaque $k_j$ est dans $A$ donc pour tout $j\in\mathbb{N}$, il existe $z_j\in U$ tel que
$$k_j\in A_{z_j}$$
De sorte que $A=\bigcup_{j\in\mathbb{N}} A_{z_j}$. Par suite, $$U=\bigcup_{z\in U} O_z =\bigcup_{z\in U}\bigcup_{k\in A_z} W_k=\bigcup_{k\in\bigcup_{z\in U} A_z} W_k=\bigcup_{k\in A} W_k=\bigcup_{j\in\mathbb{N}} W_{k_j}$$
J'affirme maintenant que $$U=\bigcup_{j\in\mathbb{N}}C_{z_j}$$
En effet : l'inclusion de la gauche vers la droite est claire et si $\omega \in U$, par ce qui précède, il existe $j\in \mathbb{N}$ tel que $\omega\in W_{k_j}$. Mais comme $k_j\in A_{z_j}$, $$\omega\in W_{k_j}\subset\bigcup_{l\in A_{z_j}}W_l=O_{z_j}\subset C_{z_j}$$
Il faudrait bien que cette réunion dénombrable puisse même être (une réunion) croissante.
Sinon je vais avoir du mal à montrer que les ouverts (d'un tel espace) sont réguliers (en particulier intérieurement) pour des mesures boréliennes.
Est-ce facile?
babsgueye le compact est un voisinage du point, il contient donc un ouvert contenant le point, par définition de voisinage.
Y a sûrement plus simple, pour le reste, oui.
@babsgueye : je dirais plutôt que tu as une lecture très floue de la démonstration.
@leo_lk : il n'y a aucun problème à transformer une union dénombrable de compacts en une union croissante de compacts. Tu trouveras sûrement comment faire.
Réponses
Dans R (qui a les hypothèses voulues), je sais que l'ensemble des intervalles ouverts bornés, centrés en des rationnels et de rayons rationnels est une base dénombrable d'ouverts.
Si je prends un intervalle ]a , b[ qui soit un élément de cette base (à extrémités rationnelles, donc), je peux le réaliser comme la réunion dénombrable des compacts [a + 1/n , b - 1/n].
De là, tout ouvert de R, qui est une réunion dénombrable d'éléments de la base citée ci-dessus, est (par associativité de la réunion) une réunion dénombrable de compacts.
Pour un ensemble X quelconque, je ne vois pas encore l'argument permettant de conclure.
Sais-tu déjà prouver que sous hypothèse que l'espace est métrisable et séparable, il a une base dénombrable d'ouverts (constitué de boules) ? Je ne sais pas si on peut s'en servir directement pour ton exercice, mais on peut au moins s'inspirer de la preuve.
Oui, il est séparable donc il contient une suite (a_n) dense (d'image dense).
Il est métrisable donc y a une distance qui définit sa topologie (et donc y'a des boules).
Pour n entier et m>0 entier, je pose B_{n,m} la boule ouverte de centre a_n et de rayon 1/m.
La famille des B_{n,m} pour (n,m) dans N x N* est une base dénombrable d'ouverts.
Maintenant il faut utiliser la compacité locale mais je suis bloqué
C'est le cas de mes a_n, par exemple.
Maintenant que tu as une base dénombrable de la topologie, tu peux oublier les $a_n$. Rappelle toi ce que tu veux montrer : que tout ouvert est réunion dénombrable de compacts. Et utilise la locale compacité dont tu as rappelé la définition.
[indication supprimée]
D'abord tout x dans X est dans une boule B_{n,m} : en effet, si je fixe m>0 (entier) je peux trouver par densité un a_n à distance au plus 1/m de mon x. Il est donc dans la boule de centre ce a_n et de rayon 1/m.
Ensuite je prends deux boules du type B_{n,m}. Si leur intersection est vide, c'est bien une réunion quelconque d'éléments du type B_{n,m} (la réunion de la famille vide). Sinon je prends un point dans l'intersection de ces deux boules et je peux trouver une boule centrée en ce point et incluse dans l'intersection des deux premières (il suffit de prendre un rayon suffisamment petit). Si je fais cette opération pour chaque point de l'intersection, je réalise l'intersection comme une union (quelconque) de boules du type B_{n,m}
edit : trop tard
Ce qu'il te faut montrer c'est que pour tout $x\in E$ et tout $r>0$ il existe $n$ et $m>0$ tel que $x\in B_{n,m}\subset B(x,r)$.
Je fixe x dans X et r > 0.
Je choisis d'abord un entier m tel que 2/m < r.
Par densité de {a_p | p dans N}, il existe n tel que d(a_n , x) < 1/m.
La boule B_{n,m} est alors incluse dans B(x,r) ; en effet si z est dans B_{n,m}, on a alors :
d(x,z) \leqslant d(x , a_n) + d(a_n , z) < 1 / m + 1 /m = 2 / m < r
d'où z dans B(x,r).
Tout ouvert non vide (qui contient une boule B(x,r)) contient alors une B_{n,m}. Donc les B_{n,m} forment une base d'ouverts.
Merci en tout cas. Je retourne à mon problème initial.
PS. Si tu modifies le contenu d'un message sur lequel un commentaire a été fait en effaçant la version précédente, on risque de ne plus comprendre le fil. Quand tu modifies, fais clairement apparaître la modification (en barrant la version précédente, par exemple).
Sinon comment écrire en latex ?
N'oublie pas les $\$$ autour du code ($$ pour une formule centrée).
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1690920,1690934#msg-1690934
[Ajout du lien. ;-) AD]
Je plaisante.
Moi je préfère la définition (équivalente) suivante de localement compact :
Un espace topologique séparé $X$ est localement compact si et seulement si tout point de $X$ admet une base de voisinages compacts.
Pour un espace métrique, c'est assez facile de voir que si un point admet un voisinage compact, alors il admet une base de voisinages compacts.
Est-ce que vous pourriez m'aider sans me donner la solution pour autant ?
1) Tout point a une base de voisinages compacts.
2) Il existe une base dénombrable d'ouverts.
Avec ça, il s'agit de démontrer que tout ouvert $U$ est réunion dénombrable de compacts.
Soit $x\in U$ ...
Pour chaque $x\in U$, on note $\mathcal{U}_x$ une base de voisinages compacts de $x$.
Pour $x\in U$, comme $U$ est un voisinage de $x$, $\exists C_x\in\mathcal{U}_x$ tel que $$x\in C_x\subset U$$
et $U$ peut s'écrire comme une réunion de compacts, en l'occurence
$$U=\bigcup_{x\in U} C_x$$
Mais cette réunion n'est pas dénombrable.
Soit $U$ un ouvert de $X$. Il existe $A\subset\mathbb{N}^*$ telle que $U=\bigcup_{k\in A} O_k$.
Soit $x\in U$.
Par définition d'une base, il existe $k\in A$ tel que $x\in O_k$.
Comme $O_k$ est un ouvert, c'est un voisinage de $x$ donc il contient un compact $C_k$
Mais la réunion des $C_k$ pour $k$ dans $A$ n'est pas égale à $U$....
Pour chaque $x\in U$, on note $\mathcal{U}_x$ un système fondamental de voisinages compacts de $x$ (dans $X$).
En choisissant pour chaque $x\in U$ un compact $C_x\in\mathcal{U}_x$, on obtient une famille $\{C_x\}_{x\in U}$ de voisinages compacts de $X$.
Par définition de voisinage, il existe pour tout $x\in U$, un ouvert $O_x$ tel que :
$$ x \in O_x \subset C_x \subset U$$
Par suite, $$U=\bigcup_{x\in U} \{x\}\subset \bigcup_{x\in U} O_x \subset \bigcup_{x\in U} C_x \subset U$$
D'où
En fait, comme vous l'avez mentionné plus haut, on peut déjà remarquer que, dans un espace métrique $X$, si un point possède un voisinage compact, il possède même une base de voisinages compacts (réciproque évidente). En effet si $x\in X$ et $C$ un voisinage compact de $x$, alors le point $x$ possède (dans le sous-espace $C$) une base de voisinages fermés (dans $C$), donc compacts (dans $C$). Or les éléments de cette base sont aussi compacts dans $X$ et sont des voisinages de $x$ dans $X$.
Je prends maintenant $X$ un espace métrisable, localement compact et séparable. On veut montrer que tout ouvert de $X$ est une réunion dénombrable de compacts.
Soit $U$ un ouvert de $X$.
On a déjà vu que $X$ est à base dénombrable d'ouverts (ce qui découle de sa métrisabilité jointe à sa séparabilité). On note alors $\mathcal{B}=\{W_k\}_{k\in\mathbb{N}}$ une telle base (par exemple celle proposée plus tôt, mais peu importe).
Par ailleurs, tout point de $z\in X$ admet un système fondamental de voisinages compacts $\mathcal{V}_z$ (compacité locale dans $X$ métrique).
On fixe alors $x\in U$. Comme $U$ est ouvert, c'est un voisinage de $x$ et donc il existe $C_x\in\mathcal{V}_x$ avec $C_x\subset U$. Or le compact $C_x$ est un voisinage de $x$ donc il existe $O_x$ un ouvert de $X$ satisfaisant $$x\in O_x\subset C_x\subset U$$ On en déduit que $$U=\bigcup_{z\in U} O_z = \bigcup_{z\in U} C_z$$ On va maintenant se servir de notre base dénombrable $\mathcal{B}$. Comme $O_x$ est un ouvert de $X$ il est une réunion (au plus) dénombrable d'éléments de $\mathcal{B}$ : il existe $A_x\subset \mathbb{N}$ telle que :$$O_x = \bigcup_{k\in A_x} W_k$$Je considère alors l'ensemble dénombrable $A=\bigcup_{z\in U} A_z\subset \mathbb{N}$ et j'écris $A = \{k_j~|~j\in\mathbb{N}\}$.
Chaque $k_j$ est dans $A$ donc pour tout $j\in\mathbb{N}$, il existe $z_j\in U$ tel que
$$k_j\in A_{z_j}$$
De sorte que $A=\bigcup_{j\in\mathbb{N}} A_{z_j}$. Par suite, $$U=\bigcup_{z\in U} O_z =\bigcup_{z\in U}\bigcup_{k\in A_z} W_k=\bigcup_{k\in\bigcup_{z\in U} A_z} W_k=\bigcup_{k\in A} W_k=\bigcup_{j\in\mathbb{N}} W_{k_j}$$
J'affirme maintenant que $$U=\bigcup_{j\in\mathbb{N}}C_{z_j}$$
En effet : l'inclusion de la gauche vers la droite est claire et si $\omega \in U$, par ce qui précède, il existe $j\in \mathbb{N}$ tel que $\omega\in W_{k_j}$. Mais comme $k_j\in A_{z_j}$, $$\omega\in W_{k_j}\subset\bigcup_{l\in A_{z_j}}W_l=O_{z_j}\subset C_{z_j}$$
Donc $U$ est bien $\sigma$-compact.
Je vois pas pourquoi l'ouvert est contenu dans le compact. Ne serait ce pas plutôt l'inverse.
La suite de la démo est un peu flou flou à mon goût.
Sinon je vais avoir du mal à montrer que les ouverts (d'un tel espace) sont réguliers (en particulier intérieurement) pour des mesures boréliennes.
Est-ce facile?
Y a sûrement plus simple, pour le reste, oui.
@leo_lk : il n'y a aucun problème à transformer une union dénombrable de compacts en une union croissante de compacts. Tu trouveras sûrement comment faire.
Merci.
Merci.