Les parties connexes d'un espace topologique

La topologie cofinie sur quel ensemble ?

E peut être fini ?

Ce n'est pas un détail, c'est essentiel !
Pour ta peine, tu répondras dans les deux cas.
Soit $x\in E$.
Si $E$ est fini, la composante connexe de $x$ pour la topologie cofinie est ?
Si $E$ est infini, la composante connexe de $x$ pour la topologie cofinie est ?

Si ! car la topologie induite sur une partie de $E$ est la topologie cofinie sur cette partie

Heu ok...
Tu as prouvé que un ensemble muni de la topologie cofinie est connexe si et seulement si il est de cardinal 0 ou 1 ou infini.
La topologie induite sur une partie de $E$ est la topologie cofinie sur cette partie.
Donc une partie de $E$ est connexe si et seulement si elle est de cardinal 0 ou 1 ou infini.

Une partie $A$ de $E$ est connexe si et seulement si, pour tout $x$ de $A$, la composante connexe de $x$ dans $A$ est $A$.
La topologie cofinie sur $E$ induit la topologie cofinie sur $A$.
Or on a vu que la composante connexe d'un point $x$ dans $A$ muni de la topologie cofinie est :
- $\{x\}$ si $A$ est fini,
- $A$ si $A$ est infini.

Non, tu résumes mal.
La réponse t'a déjà été donnée.

On dirait que tu t'obstines à ne pas lire/comprendre cette phrase :

[size=large]Une partie A de E est connexe si et seulement si, pour tout x de A, la composante connexe de x dans A est A.[/size]

Pour quelles parties $A$ de $E$ a-t-on que, pour tout $x\in A$, la composante connexe de $x$ dans $A$ est $A$ ?

Que veut dire ta phrase ?
Essaie d'écrire des phrases complètes.

Je repose ma question :
Pour quelles parties $A$ de $E$ a-t-on que, pour tout $x\in A$, la composante connexe de $x$ dans $A$ est $A$ ?

Pourrais-tu répondre clairement à cette question ?

Je rappelle que la composante connexe d'un point $x$ dans $A$ muni de la topologie cofinie est :
- $\{x\}$ si $A$ est fini,
- $A$ si $A$ est infini.

La réponse à cette question te dira quelles sont les parties connexes de $A$. Ça a d'ailleurs déjà été dit dans le fil.

Tu te mélanges encore les pinceaux. Ce n'est pas sur $E$ qu'il convient de faire la distinction fini/infini, mais sur le sous-ensemble $A$ de $E$. Tu ne réponds pas à ma question.
Tu tournes en rond sans t'en sortir. Pour ne pas que ça s'éternise sans issue, je fais moi-même la démonstration.

$E$ est un ensemble muni de la topologie cofinie. Soit $A$ une partie de $E$. La topologie induite sur $A$ est la topologie cofinie.
Si $A$ est vide, $A$ est connexe.
Soit $A$ non vide, et soit $x$ un point de $A$.
Si $A$ est infini, la composante connexe de $x$ dans $A$ est $A$. Donc $A$ est connexe.
Si $A$ est fini, la composante connexe de $x$ dans $A$ est $\{x\}$. Donc $A$ est connexe si et seulement si $A=\{x\}$.

On a démontré que les parties connexes de $E$ sont l'ensemble vide, les parties infinies de $E$ et les singletons.