Salut, s'il vous plait
comment procéder pour trouver les parties connexes de la topologie cofinie ? Est-ce qu'on procède par l'absurde ou comment on fait ?
Ce n'est pas un détail, c'est essentiel !
Pour ta peine, tu répondras dans les deux cas.
Soit $x\in E$.
Si $E$ est fini, la composante connexe de $x$ pour la topologie cofinie est ?
Si $E$ est infini, la composante connexe de $x$ pour la topologie cofinie est ?
Si $E$ est fini, alors la topologie cofinie devient la topologie $\mathcal{P}(E)$
la composante connexe de $x$ c'est le plus grand ensemble connexe qui contient x, c'est $\{x\}$
Si $E$ est infinie, est-ce que $E$ est connexe ? Supposons que $E$ n'est pas connexe.
$E=A\cup B$ et $A\cap B=\emptyset$ avec $E\setminus A<+\infty$ et $E\setminus B<+\infty$ et $A,B\neq \emptyset$
Comme $A\cap B=\emptyset$ par passage au complémentaire $(E\setminus A)\cup (E\setminus =E$ mais $E$ est infini et $(E\setminus A)\cup (E\setminus $ est fini contradiction
donc $E$ est connexe, c'est donc la composante connexe de $x$.
Mais cela ne donne pas tout les ensembles connexes de $E$
Heu ok...
Tu as prouvé que un ensemble muni de la topologie cofinie est connexe si et seulement si il est de cardinal 0 ou 1 ou infini.
La topologie induite sur une partie de $E$ est la topologie cofinie sur cette partie.
Donc une partie de $E$ est connexe si et seulement si elle est de cardinal 0 ou 1 ou infini.
Mais on a cherché la composante connexe qui est le plus grand ensemble connexe il peut y avoir d'autre ensembles. Et lorsque vous dite cardinale 0 vous voulez dire que $E=\emptyset$.
Une partie $A$ de $E$ est connexe si et seulement si, pour tout $x$ de $A$, la composante connexe de $x$ dans $A$ est $A$.
La topologie cofinie sur $E$ induit la topologie cofinie sur $A$.
Or on a vu que la composante connexe d'un point $x$ dans $A$ muni de la topologie cofinie est :
- $\{x\}$ si $A$ est fini,
- $A$ si $A$ est infini.
Tu te mélanges encore les pinceaux. Ce n'est pas sur $E$ qu'il convient de faire la distinction fini/infini, mais sur le sous-ensemble $A$ de $E$. Tu ne réponds pas à ma question.
Tu tournes en rond sans t'en sortir. Pour ne pas que ça s'éternise sans issue, je fais moi-même la démonstration.
$E$ est un ensemble muni de la topologie cofinie. Soit $A$ une partie de $E$. La topologie induite sur $A$ est la topologie cofinie.
Si $A$ est vide, $A$ est connexe.
Soit $A$ non vide, et soit $x$ un point de $A$.
Si $A$ est infini, la composante connexe de $x$ dans $A$ est $A$. Donc $A$ est connexe.
Si $A$ est fini, la composante connexe de $x$ dans $A$ est $\{x\}$. Donc $A$ est connexe si et seulement si $A=\{x\}$.
On a démontré que les parties connexes de $E$ sont l'ensemble vide, les parties infinies de $E$ et les singletons.
et c'est donc la meme chose avec la topologie codenombrable avec E non denombrable, les parties connexes sont l'esemble vide, les singletons et toute partie non denombrable, c'est ca?
Réponses
Pour ta peine, tu répondras dans les deux cas.
Soit $x\in E$.
Si $E$ est fini, la composante connexe de $x$ pour la topologie cofinie est ?
Si $E$ est infini, la composante connexe de $x$ pour la topologie cofinie est ?
la composante connexe de $x$ c'est le plus grand ensemble connexe qui contient x, c'est $\{x\}$
Si $E$ est infinie, est-ce que $E$ est connexe ?
Supposons que $E$ n'est pas connexe.
$E=A\cup B$ et $A\cap B=\emptyset$ avec $E\setminus A<+\infty$ et $E\setminus B<+\infty$ et $A,B\neq \emptyset$
Comme $A\cap B=\emptyset$ par passage au complémentaire $(E\setminus A)\cup (E\setminus =E$ mais $E$ est infini et $(E\setminus A)\cup (E\setminus $ est fini contradiction
donc $E$ est connexe, c'est donc la composante connexe de $x$.
Mais cela ne donne pas tout les ensembles connexes de $E$
je n'ai pas xompris votre réponse 0ka, pouvez vous m'expliquer votre idée ?
Merci
Tu as prouvé que un ensemble muni de la topologie cofinie est connexe si et seulement si il est de cardinal 0 ou 1 ou infini.
La topologie induite sur une partie de $E$ est la topologie cofinie sur cette partie.
Donc une partie de $E$ est connexe si et seulement si elle est de cardinal 0 ou 1 ou infini.
Et lorsque vous dite cardinale 0 vous voulez dire que $E=\emptyset$.
La topologie cofinie sur $E$ induit la topologie cofinie sur $A$.
Or on a vu que la composante connexe d'un point $x$ dans $A$ muni de la topologie cofinie est :
- $\{x\}$ si $A$ est fini,
- $A$ si $A$ est infini.
les parties connexes de E fini sont les singletons et les parties connexes de E infinie sont les parties infinie c'est ca?
La réponse t'a déjà été donnée.
Essaie d'écrire des phrases complètes.
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
j'ai répondu à la question A est la composante connexe de x lorsque A est infini, mais cela est dans le cas ou E est infini.
Les parties connexes dans E fini sont les singletons d'après ce que j'ai compris.
Pour quelles parties $A$ de $E$ a-t-on que, pour tout $x\in A$, la composante connexe de $x$ dans $A$ est $A$ ?
Pourrais-tu répondre clairement à cette question ?
Je rappelle que la composante connexe d'un point $x$ dans $A$ muni de la topologie cofinie est :
- $\{x\}$ si $A$ est fini,
- $A$ si $A$ est infini.
La réponse à cette question te dira quelles sont les parties connexes de $A$. Ça a d'ailleurs déjà été dit dans le fil.
A est la composante connexe de $x\in A$ SI $A=\{x\}$
SI Eest infini
A est la composante connexe de x si A est infini.
Tu tournes en rond sans t'en sortir. Pour ne pas que ça s'éternise sans issue, je fais moi-même la démonstration.
$E$ est un ensemble muni de la topologie cofinie. Soit $A$ une partie de $E$. La topologie induite sur $A$ est la topologie cofinie.
Si $A$ est vide, $A$ est connexe.
Soit $A$ non vide, et soit $x$ un point de $A$.
Si $A$ est infini, la composante connexe de $x$ dans $A$ est $A$. Donc $A$ est connexe.
Si $A$ est fini, la composante connexe de $x$ dans $A$ est $\{x\}$. Donc $A$ est connexe si et seulement si $A=\{x\}$.
On a démontré que les parties connexes de $E$ sont l'ensemble vide, les parties infinies de $E$ et les singletons.
et c'est donc la meme chose avec la topologie codenombrable avec E non denombrable, les parties connexes sont l'esemble vide, les singletons et toute partie non denombrable, c'est ca?