Distance et Ouvert
Bonjour
Notre prof nous a demandé de montrer que 2 distances (s$d$ et $d'$) sont topologiquement équivalentes ... et il nous a dit d'utiliser la notion de (que pour tout ouvert pour une distance est aussi ouvert pour l'autre). Mais dans le corrigé il a supposé une suite $(x_n)_n$ d'éléments d'un espace métrique qui tend vers $x$ pour $d$ et il a montré que $(x_n)_n$ tend vers aussi $x$ pour $d'$
Je n'ai pas compris comment il a utilisé la notion qu'il nous a demandé ?
Merci
Notre prof nous a demandé de montrer que 2 distances (s$d$ et $d'$) sont topologiquement équivalentes ... et il nous a dit d'utiliser la notion de (que pour tout ouvert pour une distance est aussi ouvert pour l'autre). Mais dans le corrigé il a supposé une suite $(x_n)_n$ d'éléments d'un espace métrique qui tend vers $x$ pour $d$ et il a montré que $(x_n)_n$ tend vers aussi $x$ pour $d'$
Je n'ai pas compris comment il a utilisé la notion qu'il nous a demandé ?
Merci
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Réponses
Pour montrer que les deux distances induisent la même topologie,on montre qu'elles ont les mêmes ouverts ce qui est équivalent à dire que les deux topologies ont les mêmes fermés d'où les suites !
(Caractérisation séquentielle toussa toussa...)
Je n'ai pas bien compris qu'elle est le lien entre les ouverts (notre notion) et les fermés ?
Merci de votre aide
Le lien entre les ouverts et les fermés est que : les uns sont les complémentaires des autres.
Pour montrer que deux distances $d$ et $d'$, définies sur un même espace, sont topologiquement équivalentes, tu peux (alternativement) :
1) Montrer que les boules ouvertes pour $d$ sont des ouverts pour $d'$ et vice versa. (Pourquoi suffit-il de se restreindre aux boules?)
2) Montrer que les fermés pour $d$ sont fermés pour $d'$ et vice versa. (Tu disposes d'une belle caractérisation des fermés dans les espaces métriques.)