Le locale étale d'un faisceau

La notion de faisceau sur un espace topologique $X$ se définit entièrement à partir du treillis (enfin plus spécifiquement "frame" mais je ne connais pas le terme français) des ouverts de $X$: en particulier on peut définir un (pré)faisceau sur un locale.

Un faisceau sur un espace topologique est un foncteur $F:O(x)^{op}\to Set$ vérifiant la condition de recollement unique, mais on peut aussi le voir comme un espace étale sur $X$, i.e. un espace $Y$ muni d'un homéomorphisme local $p: Y\to X$, et alors $F$ est isomorphe à $\Gamma (-,p)$ (ou $\Gamma (-,Y)$ si $p$ est clair), le faisceau des sections de $p$.

La notion d'homéomorphisme local peut aussi s'exprimer en termes de locales, et donc pour un locale $X$ on obtient deux notions : les locales étales (?) et les faisceaux.

De manière évidente on peut aussi passer des locales étales aux faisceaux en associant à un locale étale son faisceau des sections. Peut-on, comme pour les espaces topologiques, aller dans l'autre sens, i.e. construire un locale étale à partir d'un faisceau (voire à partir d'un préfaisceau, ce serait cool car ça permettrait de faire de la faisceau-t-isation pour les locales aussi) ? Si possible de sorte à ce que les deux constructions soient quasi-inverses l'une de l'autre. Le mieux serait aussi que cette construction soit intuitionniste (les locales sont surtout intéressants à étudier constructivement si je ne me trompe pas)

J'ai essayé de refaire la construction de l'espace étale associé à un (pré)faisceau pour les locales , mais celle-ci utilise de façon essentielle les points (pour définir les germes des sections) et je ne vois pas comment m'en passer... j'ai essayé de les remplacer par des ensembles dirigés du locale de départ, pour représenter les points mais je n'y arrive pas..

J'ai ensuite eu l'idée d'utiliser la (l'opposé de la) catégorie des éléments de mon (pré)faisceau $F$, qui est ici un ordre : ses éléments sont les couples $(s,U)$ où $s\in F(U)$, et $(t,V)\leq (s,U)$ si et seulement si $V\leq U$ et $t=s_{\mid V}$.

Le problème c'est que ce n'est pas un treillis complet (enfin pas même un treillis), donc pas un "frame": pas un bon candidat pour notre locale étale. Mais sa "complétion" pourrait être un bon candidat: seulement voilà, je n'arrive pas à donner de sens à cette complétion.

Si j'arrive à lui donner un sens, alors on aura facilement un morphisme de frames $p^* : X\to Y$ (simplement à $U$ j'associe le sup des $(s,U), s\in F(U)$, ce qui correspond à l'idée dans les espaces topologiques, et c'est bien un morphisme de frames par distributivité de $\land$ sur $\bigvee$ et associativité des sups; donc $p:Y\to X$ un morphisme de locales; et j'ai bien espoir que ses sections soient isomorphes au faisceau de départ).
ça m'a l'air d'être la piste la plus prometteuse, mais il me manque ce truc de "complétion". Donc est-ce que quelqu'un pourrait m'aider ? (je pense notamment à GaBuZoMeu qui avait publié un poly dont je tire la plupart de ce que je sais sur les faisceaux/espaces étales, mais il n'est pas du tout exclu que d'autres sachent !)