Comparaison de topologies

Bonjour,

Je souhaite montrer un petit lemme de topologie sur lequel je stagne un peu. Voici son énoncé :

Soient deux distances $d$ et $d'$ définies sur $X$. Je note $\tau_d$ et $\tau_{d'}$ les topologies (naturelles) associés à ces distances, il est clair que $\tau_d\subset\tau_{d'}$ si et seulement si toutes les $d$-boules ouvertes de $X$ appartiennent à $\tau_{d'}$ (i.e sont $d'$-ouvertes), ces dernières engendrant la topologie $\tau_d$. Je note $(i)$ cette propriété (toutes les $d$-boules sont $d'$-ouvertes).

Mais on peut faire mieux ; l'une de ses conditions (équivalentes) est en fait équivalente à :
Pour toute $d$-boule ouverte $B_d(x,r)$, il existe $r'>0$ tel que $B_d(x,r)\supset B_{d'}(x,r')$ (noter le même centre)
Je note $(ii)$ cette propriété.

L'implication $(i) \Longrightarrow (ii)$ ne (me) pose pas de problème. Pour la réciproque, fixant une $d$-boule $B_d(x,r)$, je tire un $r'>0$ comme dans la propriété $(ii)$ et alors $B_d(x,r)$ est clairement un $d'$-voisinage de chacun des points de $B_{d'}(x,r')$, mais le problème subsiste pour les autres points de $B_d(x,r)$...

Je serai content d'avoir une explication de $(ii) \Longrightarrow (i)$, ou même simplement une indication.

Léo