Topologie engendrée par une application

Bonjour à tous,
Je planche depuis un moment sur un exercice que je ne parviens pas à résoudre. Voilà l'énoncé :

Soient $X$ un ensemble et $\alpha : \mathcal{P}(X) \rightarrow \mathcal{P}(X) $ une application vérifiant les propriétés suivantes.

1. $\alpha (X) = X$
2. pour tout $A \in \mathcal{P}(X) $, $\alpha (A) \subset A$
3. pour tout $A \in \mathcal{P}(X) $, $(\alpha \circ \alpha ) (A) = \alpha ( A)$
4. pour tous $A,B \in \mathcal{P}(X) $, $\alpha (A \cap = \alpha (A) \cap \alpha (B)$

Montrer que l'ensemble $\mathcal{T} = \{ \alpha (A) ; A \in\mathcal{P}(X) \} $ est une topologie sur $X$ telle que pour tout $A \in \mathcal{P}(X)$, $\overset{\circ}{A} = \alpha (A)$.

Je n'arrive pas à montrer qu'une réunion quelconque d'éléments de $\mathcal{T}$ est dans $\mathcal{T}$. Quant à la dernière condition sur l'intérieur, je n'y suis pas encore. Je vous remercie pour votre aide.