Union de connexes
Bonsoir
Soit $\{\Omega_i\}_{i\in I}$ une famille de connexes tel que $ \bigcap_{i\in I} \Omega_i\neq \emptyset$ je cherche a montrer que l'union $\bigcup_{i\in I}\Omega_i$ est connexe (en utilisant l'absurde)
Je suppose que l'union n'est pas connexe c'est-à-dire qu'il existe deux ouverts non vides et disjoints $A$ et $B$ de $\bigcup \Omega_i$ tels que $\bigcup \Omega_i=A\cup B.$
On [sait] que $\forall i\in I,\ \Omega_i\subset A\cup B $ comme $\Omega_i$ est connexe pour tout $i\in I$ soit $\Omega_i\subset A$ ou $\Omega_i\subset B$.
Mais après je ne sais pas comment utiliser le fait que $ \bigcap_{i\in I} \Omega_i\neq \emptyset$.
Merci pour votre aide.
Soit $\{\Omega_i\}_{i\in I}$ une famille de connexes tel que $ \bigcap_{i\in I} \Omega_i\neq \emptyset$ je cherche a montrer que l'union $\bigcup_{i\in I}\Omega_i$ est connexe (en utilisant l'absurde)
Je suppose que l'union n'est pas connexe c'est-à-dire qu'il existe deux ouverts non vides et disjoints $A$ et $B$ de $\bigcup \Omega_i$ tels que $\bigcup \Omega_i=A\cup B.$
On [sait] que $\forall i\in I,\ \Omega_i\subset A\cup B $ comme $\Omega_i$ est connexe pour tout $i\in I$ soit $\Omega_i\subset A$ ou $\Omega_i\subset B$.
Mais après je ne sais pas comment utiliser le fait que $ \bigcap_{i\in I} \Omega_i\neq \emptyset$.
Merci pour votre aide.
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Réponses
Comme ton intersection est non vide, on a un élément $\omega$ dedans. On a : $\omega \in A$ et $\omega \notin B$ (par exemple). Comme $\omega \in \Omega_i \cap A$ et comme $ \omega \notin B$ il n'est pas possible que $\Omega_i \subset B$.
C'est peu lourd comme démarche, la caractérisation en terme d'application $f : \Omega \to \{0,1\}$ continu semble plus pratique.
On veut arriver à $\quad [\forall i\in I,\ \Omega_i \subset A]~\text{ou}~\forall i\in I,\ \Omega_i\subset B],\quad$ en utilisant la condition qui dit que l'intersection est non vide j'ai montré que $$ \forall i\in I,\ \Omega_i \subset A~\text{ou}~\forall i\in I,\ \Omega_i \subset B
$$ Si je suppose que $\forall i \in I,\ \Omega_i \subset A$ alors l'union est dans $A$ d'ou $B$ est vide, contradiction.
Je ne sais pas si c'est juste je n'ai pas su commencer comme vous.
Merci