Continuité d'une application multilinéaire
Soit $(E_i,||.||_i)_{1\le i\le p}$ $p$ $\mathbb R$-espaces vectoriels normés et $E=E_1\times\cdots\times E_p$ l'espace produit muni de la norme produit, $(F,||.||_F)$ un $\mathbb R$-espace vectoriel normé. On sait qu'un application $\mathbb R$-multilinéaire de $E$ dans $F$ est continue (pour la norme $||.||_E$) si et seulement si il existe $k\ge0$ tel que pour tout $x=(x_1,\cdots,x_p)\in E$ on ait
$$||f(x)||_F\le k||x_1||_1\times\cdots\times||x_p||_p.$$
Cette caractérisation est elle vraie aussi pour une norme quelconque de $E$. Evidemment, c'est vraie pour une norme équivalente à la norme produit.
Merci d'avance.
$$||f(x)||_F\le k||x_1||_1\times\cdots\times||x_p||_p.$$
Cette caractérisation est elle vraie aussi pour une norme quelconque de $E$. Evidemment, c'est vraie pour une norme équivalente à la norme produit.
Merci d'avance.
Réponses
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Evidemment que non : prends $p=1$, et $E_1$ un espace vectoriel de dimension infinie avec plusieurs normes inéquivalentes.
Cependant, puisqu'en dimension finie toutes les normes sont équivalentes, la caractérisation marche pour toute norme sur $E$ de la forme $N(||x_1||_1,..., ||x_p||_p)$ où $N$ est une norme sur $\mathbb{R}^p$ -
C'est ce que j'allais répondre mais en fait la question est ambigue: dans le cas $p=1$ on a bien, pour toute norme $\|.\|$ sur $E$, qu'une application linéaire $f$ est continue pour la norme $\|.\|$ ssi il existe $k$ tq pour tout $x$ on a $$\|f(x)\|_F \le k \|x\|.$$
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Désolé pour l'ambiguïté de la question Il faut la comprendre dans le sens de Kramer.
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Par contre je ne sais pas vraiment interpréter ta question. Vu que la norme produit ça n'est pas le produit des normes, par quoi faut-il remplacer celui-ci dans le cas d'une norme quelconque?
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Ce que je voulais dire, soit $E$ muni d'une norme quelconque $N$, est-ce que $f$ est continue sur $E$ (pour la norme $N$) si et seulement si il existe $k\ge0$ tel que pour tout $x\in E$,
$$||(f(x))||_F\le k||x_1||_1\times\cdots\times||x_p||_p.$$
(la présence de la norme $N$ est cachée dans la définition de la continuité). -
Mais $f(x)$ n'appartient pas à $E$... :-S
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Typo, j'édite.
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Ah mais dans ce cas le contre-exemple de Maxtimax s'applique vu que les $\|.\|_i$ ne dépendent pas de la norme $N$...
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Il n'y a pas de "sens de Kramer", précisément pour la raison que ce dernier évoque dans son dernier commentaire :-D
Tu fixes $p$ normes $||-||_1,...,||-||_p$, et tu demandes si ton critère marche pour n'importe quelle norme sur $E_1\times...\times E_p$, alors que ton critère concerne explicitement $||-||_1,...,||-||_p$ : mon contrexemple marche complètement.
Le "seul sens" qui peut faire que ce critère marche, c'est de dire "norme qui est une norme en les $||-||_1,...,||-||_p$", cas que j'ai mentionné plus haut.
On peut aussi se demander : soit $f:\R^p \to \R$ telle que $N=f\circ (||-||_1,...||-||_p)$ soit une norme, est-ce qu'alors le critère marche pour $N$ ?
A ça je n'ai pas la réponse; mais je pense que la réponse est oui parce qu'une telle $f$ devra sûrement ressembler à une norme. Mais je ne suis pas sûr.
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