Espaces de Banach
Bonjour, j'ai cet exercice.
Soit $E$ un sous-espace de $\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ constitué des éléments bornés.
Montrer que, $E$ muni de la norme de convergence uniforme est un espace de Banach.
Je prends une suite de Cauchy dans $E$, donc elle est bornée, et toute suite de Cauchy bornée converge vers une limite $f$, on a $$\forall n\in \mathbb{N},\quad ||f||= ||f-f_n||+||f_n||\leq \varepsilon+C_n$$ d'où la bornitude de $f$ et donc $E$ est complet.
J'ai un doute sur ma preuve, je n'ai pas utilisé le fait que c'est la norme de convergence uniforme, où est l'erreur s'il vous plaît ?
Soit $E$ un sous-espace de $\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ constitué des éléments bornés.
Montrer que, $E$ muni de la norme de convergence uniforme est un espace de Banach.
Je prends une suite de Cauchy dans $E$, donc elle est bornée, et toute suite de Cauchy bornée converge vers une limite $f$, on a $$\forall n\in \mathbb{N},\quad ||f||= ||f-f_n||+||f_n||\leq \varepsilon+C_n$$ d'où la bornitude de $f$ et donc $E$ est complet.
J'ai un doute sur ma preuve, je n'ai pas utilisé le fait que c'est la norme de convergence uniforme, où est l'erreur s'il vous plaît ?
Réponses
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Tu voulais sûrement dire "le sous-espace", et pas "un sous-espace"
L'erreur est dans "toute suite de Cauchy bornée converge" : comme toute suite de Cauchy est bornée, cela imposerait que toute suite de Cauchy converge : or il existe des espaces non complets. -
Ah j'ai tout mélangé, mais alors avez-vous une idée sur comment faire je bloque parce que l'espace des fonctions de R dans R n'est pas de Banach pour cette norme.
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Tu veux trouver une limite $f$ de $(f_n)$: que dire de $(f_n(x))_n$ pour $x\in\mathbb{R}$ ?
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elle est de Cauchy dans $(\mathbb{R},|.|)$ qui est complet donc elle converge de dans vers $f(x)$
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Je dois montrer que $f_n\to f$ en norme et que $f\in E$.
Mais c'est comme si que je suis en train de montrer que $\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ est de [large]B[/large]anach alors que cela n'a pas de sens.
[Stefan Banach (1894-1945) prend toujours une majuscule. AD] -
Non, puisque tu vas utiliser le fait que les $f_n$ sont dans $E$, ne t'inquiète pas
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Donc c'est la bornitude qui nous pemet d'ecrire $|| f_n||_{\infty}$ sinon pour la convergence je suis en train d’écrire comme la démonstration de $\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})$ est complet sous cette norme c'est juste ?
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En fait je suis bête, non tu ne vas pas utiliser le fait que les $f_n$ sont dans $E$, sauf pour montrer que $f$ est dans $E$: $C(\mathbb{R},\mathbb{R})$ est un Banach
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Salut, j'ai un problème pour montrer la continuité et la bornitude de $f$.
Est-ce que j'ai le droit d'écrire : pour la continuité $$
|f(x)-f(x_0)|\leq |f(x)-f_n(x)|+|f_n(x)-f_n(x_0)|+|f_n(x_0)-f(x_0)|\leq 3\frac{\varepsilon}{3}
$$ et pour la bornitude $$
||f||\leq ||f-f_n||+||f_n||\leq \varepsilon +C_n
$$ -
Tu as le droit de l'écrire si tu dis qui sont $x,x_0, \epsilon, n, C_n$
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