Notion de topologie

Bonjour,
Soit $(X,d)$ un espace métrique. Alors on peut définir sur $X$ les boules ouvertes $B(a,r)=\{x\in X \mid d(a,x) < r \}$. L'ensemble $\mathcal{B}$ des boules ouvertes vérifie alors en particulier deux propriétés (le vérifier) :

1. Pour tout $x\in X$, il existe $B\in \mathcal{B}$ tel que $x\in B$.
2. Pour tous $B_1,B_2 \in \mathcal{B}$ et tout $x\in B_1 \cap B_2$, il existe $B\in \mathcal{B}$ tel que $x\in B \subset B_1 \cap B_2$.

Il existe alors une unique topologie sur $X$ pour laquelle $\mathcal{B}$ est une base. En effet, \[ \mathcal{T} = \{U \in \mathcal{P}(X) \mid U \text{ est réunion d'élément de } \mathcal{B} \} \] convient (le vérifier aussi).
On appelle alors la topologie $\mathcal{T}$ la topologie associée à la distance $d$.

Bonjour.

Une distance définit des boules ouvertes, base d'une topologie (U est un ouvert si pour tout x de U, il existe une boule ouverte de centre x contenue dans U).

On trouve ça dans tous les cours de topologie, ou sur les espaces métriques. Comme tu peux trouver seul ce genre de cours, inutile qu'on écrive plus.

Cordialement.