Groupes topologiques et axiome T3 1/2

Tu peux commencer par montrer qu'un groupe topologique $T_1$ est $T_2$: c'est une première étape, plus simple que ce que tu veux démontrer mais ça te facilitera la tâche pour la suite (il y a des théorèmes, comme Urysohn, qui donnent des critères de T3 1/2; et en général ces théorèmes requièrent la séparation)

Tu viens de trouver, pour tout $y\neq x$ un ouvert $U_y$ le contenant et inclus dans $E\setminus\{x\}$...

Par ailleurs, si c'est plus simple pour toi (je crois que ça l'est), je pense que tu aurais intérêt à prouver la caractérisation i) de $T_{3\frac{1}{2}}$ (à savoir "uniformisable") qui est, elle, très simple à prouver avec la définition utilisant les entourages (même s'il faut un brin d'imagination).
Il est possible que i) $\implies$ ii) soit plus simple que directement $T_2\implies T_{3\frac{1}{2}}$ (je ne sais pas).

Ensuite voici une référence qui, si je me souviens bien, traite la question entièrement (et c'est une bonne référence sur les groupes topologiques).
C'est dans la partie General Properties of topological groups, plus spécifiquement du début jusqu'à "separation axioms"(où l'auteur appelle $T_{3\frac{1}{2}}$ un "Tychonov space")
(aïe je viens de me rendre compte que le lemme clé est cité mais pas prouvé :-( je laisse quand même la référence)

Bourbaki annonce : Soit $X$ un espace topologique. Alors $X$ est uniformisable si et seulement si les fonctions continues de $X$ vers $[0,1]$ séparent les points des fermés qui leurs sont disjoints. Pas de groupes dans l'histoire ! C'est le théorème 2 du paragraphe 5 Espaces uniformisables du chapitre IX Utilisation des nombres réels en topologie du Bourbaki de Topologie Générale.
"Uniformisable" veut dire "espace topologique tel qu'il existe une structure uniforme qui induit sa topologie". Un groupe topologique est toujours uniformisable, et ce de deux façons différentes, voir Bourbaki, Topologie générale, Chapitre III Groupes topologiques, paragraphe Structures uniformes de groupes.

Sinon, j'ai trouvé un lien pointant vers le problème 2 de ce pdf qui semble court-circuiter tout ça !

[EDIT] : En particulier, il semble qu'il n'y ait pas besoin de faire d'hypothèses de séparation sur $G$...

Alors, pour sloganiser un peu ça : la topologie permet de formaliser l'idée de proximité de certaines choses par rapport à un point ; c'est les voisinages. Par contre, ça ne permet pas forcément de formaliser une idée comme "$a$ et $b$ sont (à peu près) aussi proches l'un de l'autre que $c$ et $d$ le sont". C'est ça que la théorie des espaces uniformes formalise. Pour les espaces métriques, c'est facile : il suffit de dire un truc du style $d(a,b) \sim d(c,d)$. Pour les groupes topologiques, c'est aussi facile : tu te donnes une base de voisinages $B$ de $e$, que tu appelles "échelle de proximité" et si $V \in B$ et $x,y \in G$, tu dis que $x$ et $y$ sont $V$-proches si $x^{-1}y \in V$ (ou $xy^{-1} \in V$, c'est pour ça qu'il y a deux manières de procéder a priori différentes).

Enfin, une façon de fabriquer des espaces uniformes est de prendre un ensemble d'écarts (un peu comme des distances pouvant être $+\infty$ et ne vérifiant pas forcément l'axiome de séparation) et de dire : $x$ et $y$ sont d'autant plus proches qu'il existe un petit $\epsilon$ et un grand nombre fini d'écarts $e_1,...,e_n$ tels que $e_i(x,y) \leq \epsilon$ pour tout $i$ (ça se formalise de manière précise, bien entendu). Un espace métrique, c'est un seul écart, qui vérifie en plus la propriété de séparation et qui ne vaut jamais $+\infty$.
Eh bien, il y a un théorème qui dit que toute structure uniforme peut s'obtenir comme ça. Ce théorème est démontré dans Bourbaki et n'a rien à voir avec ta choucroute.

A mon avis, un bon compromis (si tu veux élargir ta culture), ce serait d'apprendre les définitions de ce qu'est une structure uniforme, savoir comment fabriquer une topologie à partir d'une structure uniforme, regarder ce que ça donne pour les groupes topologiques, et constater que les groupes topologiques sont bien "uniformisables".
Tu peux aussi essayer de démontrer qu'un groupe topologique est métrisable si et seulement si l'élément neutre admet une base dénombrable de voisinages (aide-toi d'internet au besoin, c'est quand même un peu technique), ce qui te donne un cas particulier assez général de ce que tu cherches.
Mais à moins de trouver un bon raccourci, c'est pas forcément utile de creuser trop loin du côté des structures uniformes, parce que ce n'est pas très à la mode. Par conséquent, les livres ne les utilisent pas beaucoup et du coup c'est pas un truc qui facilitera tes futures lectures.

EDIT : Merci Poirot, la prochaine fois je me relirai !

Homo Topi a écrit:

ça peut quand même pas être si horrible que ça à montrer, si ?

Ben quand même, la fonction à valeurs réelles qui sépare le point et le fermé, faut la sortir de quelque part ! Et puis on peut se dire que c'est un peu surprenant : des groupes topologiques, il peut y en avoir de très, très, grands, avec des topologies a priori bizarres, et tout ! Mais, quand même, ya un espace topologique très particulier $[0,1]$ et un lien non trivial avec lui et TOUS les groupes topologiques. Moi, ça me semble un peu surprenant, de prime abord (mais bon, c'est une question de goût, de culture mathématique, et de faciliter à s'émerveiller, en quelque sorte).

En fait, il n'y a rien de très compliqué dans tout ça, c'est juste long et je ne vois pas ce que ça va t'apprendre sur la mesure de Haar ! Je comprends qu'on puisse avoir besoin d'examiner toutes les briques pour s'assurer de la stabilité de l'édifice, mais là, si tu veux, la démonstration est séparée en deux morceaux : un côté, facile, sur les structures uniformes sur les groupes topologiques ; et un autre, sur un théorème purement uniforme, et long.

Si vraiment tu veux UNE démonstration, eh bien, je pense que l'exercice dans le pdf mis en lien est le plus court chemin, pour l'instant.
Mais je pense que l'autre chemin consistant à en apprendre le strict minimum sur les structures uniformes, et regarder ce que ça donne sur les groupes topologiques permet d'apprendre deux ou trois choses intéressantes, et d'arriver à un point où on peut se dire : ouf, bon, ben maintenant, si un jour j'ai envie de parcourir ce sentier qui n'a plus rien à voir avec les groupes topologiques, je me prends un moment pour lire ligne à ligne le Bourbaki de structures uniformes et j'y arriverai puisque tous les détails y sont.

EDIT : Moi, c'est comme ça que j'aime apprendre les maths. Quand je veux comprendre la démonstration d'un théorème, et que j'arrive à isoler des bouts dont je sais que la démonstration est hors-sujet, utilise des techniques différentes de celles couramment utilisées pour étudier l'objet en question, je suis content et je me concentre sur les bouts qui ont un vrai lien avec ce qui m'intéresse. Il vient toujours un moment, en maths, où on n'a plus le temps de lire la démonstration du début à la fin. Il faut décider d'admettre des trucs. Et je pense que faire des choix "thématiques", c'est une bonne idée, parce que ça permet de se concentrer sur ce qui nous intéresse vraiment. Un peu comme si tu voulais parcourir tout le territoire des Etats-Unis à pied : ne prendrais-tu pas l'avion pour survoler l'Océan Pacifique pour rejoindre Hawaii ?

EDIT 2 : Mais bien entendu, si tu veux tout te farcir, les structures uniformes c'est très intéressant !

Ok ok. Bon ben je vais assister à une soutenance de thèse tout à l'heure, je prendrai un crayon et un papier pour essayer de résoudre l'exercice mis en lien et si j'y arrive je mettrai une correction.

Que veux-tu dire, quand tu dis que tu ne sais pas trop ce que $W$ représente ?

Je suis presque sûr que tu peux arriver à démontrer ce dernier point si tu sais que pour tout voisinage ouvert $U$ de $e$ dans $G$, il existe un voisinage ouvert $V$ de $e$ tel que $V^2 \subset U$. Et ici, $V^2$ est l'ensemble des trucs qui sont produits de deux éléments de $V$.

Sais-tu démontrer ce lemme ? Est-ce qu'il t'aide à démontrer ton dernier point ?

Ah pour interpréter $W^2$ par rapport à $W$ ? Ben, voici un slogan : on va appeler les éléments de $W$ des "pas élémentaires", et si $(x,y) \in W$, on dit qu'on peut aller de $x$ à $y$ en un pas élémentaire. Alors, maintenant, si $x,y \in E$, alors dire que $(x,y) \in W^2$, c'est la même chose que de dire qu'on peut aller de $x$ à $y$... en faisant deux pas élémentaires à la suite !

Pour mon lemme, essaie de le démontrer tout seul sans regarder la solution. Je pense que ça te sera très profitable, vu que ce genre de lemme sert tout le temps quand on travaille avec des groupes topologiques "tout nus".

Et sinon, je te conseille de ne pas forger ton inspiration sur les écarts. Moi, ce qui me parle le plus, c'est d'appeler les éléments d'une structure uniforme des "relations de proximité".

Le fait de contenir la diagonale, c'est juste qu'une relation de proximité doit être réflexive ("tout point est proche de lui-même, peu importe ce que <<proche>> veut dire"). Si $W$ est une relation de proximité, alors $W^{-1}$ doit en être une aussi ("si je dis que $x$ est proche de $y$, je peux dire que $y$ est proche de $x$, même si ce n'est pas forcément la même relation de proximité - imaginons que $x$ soit en haut de la montagne et $y$ en bas : c'est plus facile d'aller de $x$ à $y$ que de $y$ à $x$ !). L'intersection de deux relations de proximité en est encore une ("si $x$ et $y$ sont proches <<à pied>>, et proches <<en voiture>>, alors ils sont proches <<à pied et en voiture>>"). Et la dernière condition, je me la formule comme ça : si on dispose d'une relation de proximité $W_1$, alors on doit pouvoir imaginer une relation de proximité $W_2$ qui est telle que si on peut aller de $x$ à $y$ en deux $W_2$-pas, alors on peut aller de $x$ à $y$ en un $W_1$-pas.

Je t'aide pour la partie qui parle d'uniformité mais je te laisse un peu mariner pour l'autre, sauf si tu me dis que c'est trop pénible !

Et notons $W_U := \{(x,y) \ \vert \ x^{-1}y \in U\}$, pour $U$ ouvert de $G$, groupe topologique.

Alors, soit $W$ un entourage. On cherche un entourage $W'$ tel que $(W':W') \subset W$. Déjà, il existe $U$ voisinage ouvert de $e$ dans $G$ tel que $W_U \subset W$. Soit maintenant (grâce au lemme) $V$ tel que $\underline{V} \subset U$. J'avance que $(W_V:W_V) \subset W_U$ (et si c'est le cas, c'est gagné !). En effet, si $x,y \in (W_V:W_V)$. Il existe alors $z \in V$ tel que $(x,z) \in W_V$ et $(z,y) \in W_V$. Cela veut dire que $x^{-1}z \in V$, et $z^{-1}y \in V$. Mais alors $x^{-1}y = x^{-1}zz^{-1}y \in \underline{V} \subset U$, et donc $(x,y) \in W_U$.

Au fait, à la place de $\underline{V}$, on utilise aussi $VV$ qui est tout à fait transparente !

Oui, oui, par définition de la topologie produit, $V$ est tel qu'il existe un voisinage $W$ de $e$ ouvert dans $G$ tel que $W\times W \subset V$, et ce $W$ convient ! Bien joué :-)

Je t'avoue que pour le sens $\Rightleftarrow$, j'ai eu un peu mal à la tête !

Si, si, $xU$ est bien ouvert, et c'est plus simple que tu ne le crois !

Eh bien, $\cdot : G \times G \rightarrow G$ est continue, n'est-ce pas ? Donc, si $x \in G$, $g \mapsto xg$ est continue, n'est-ce pas ? ...