Connexe-Connexité par arcs

Il suffit de demander à un moteur de recherche !

Pour sortir de l'exemple ultra classique de Magnolia (et qui se trouve en 5 secondes sur le web), il y a l'exemple de $\mathbb{N}$, muni de la topologie cofinie (ie les fermés sont $\mathbb{N}$ et ses parties finies.)

Oui, c'est tout à fait ce que je veux dire. En fait, les connexes de $\mathbb{N}$ sont le vide, les singletons, et les parties infinies. En particulier , $\mathbb{N}$ est connexe.
Il est clair que le vide et les singletons sont connexes, et que les parties finies possédant au moins deux éléments ne le sont pas (pourquoi ???)

Soit $X$ une partie infinie de $\mathbb{N}$.
Soit $U$ un ouvert-fermé non vide de $X$ . Son complémentaire $F$ est fermé, distinct de $X$, donc fini. Mais il est aussi ouvert. Or un ouvert non vide de $X$ est infini. Donc $F$ est vide et $U=X$. Ainsi, $X$ est connexe.

Pour la non connexité par arcs, c'est pénible. Je vais admettre le résultat classique suivant:

Fait. $[0,1]$ n'est pas réunion dénombrable disjointe de fermés de $[0,1]$. Les autres intervenants te donneront une démo de ce fait, moi j'ai la flemme...

Soit $\gamma: [0,1]\to \mathbb{N}$ une application continue. L'image continue d'un connexe étant connexe, son image est soit un point, auquel cas $\gamma $est constante, soit infinie.
Dans le second cas, comme une partie infinie de $\mathbb{N}$ est en bijection avec $\mathbb{N}$, on peut énumérer les éléments de l'image sous la forme d'une suite $(x_n)_{n\geq 0}$ d'éléments deux à deux distincts. Mais chaque singleton étant fermé, on a une réunion disjointe $[0,1]=\gamma^{-1}(Im(\gamma))=\bigcup_{n\geq 0}F_n$, où $F_n=\gamma^{-1}(\{x_n\})$ est fermé.
Contradiction, par le fait précédent.

Bref, toute application continue $\gamma:[0,1]\to \mathbb{N}$ est constante. Il est alors impoosible de relier deux entiers distincts par un chemin continu, d'où la connexité par arcs.

Eh bien, tu n'as qu'à mieux le dire. Tu dois être capable de répondre à ta propre question si tu réfléchis 30 secondes. Jamais vu quelqu'un d'aussi ingrat....

@babsgueye : tu es bien irrespectueux, d'autant que le raisonnement de melpomène est parfaitement rigoureux, il ne faut pas oublier l'ouvert vide. Les ouverts de $\mathbb N$ pour la topologie cofinie ne sont pas tous infinis...

N'importe quoi. Tu lis ce qui t'arrange, d'autant que melpomène a pris dès le début un ouvert-fermé $U$ infini.

babsgueye a écrit:

Je pense qu'il fallait s’arrêter à $F$ est fini et infini donc contradiction.

C'est à propos de cette remarque que je te disais qu'il ne faut pas oublier l'ouvert vide, car ouvert n'implique pas infini ici.

Bonjour

Puisqu'on me pose directement une question, j'y réponds. Cherche dans ton cours ce qu'on dit de l'adhérence d'une partie connexe!

Poirot t'a déjà répondu « sur ça » : si on ne peut pas relier $(1,\sin1)$ et $(0,0)$ par un chemin continu, cela veut dire que $\overline{G}$ n'est pas connexe par arcs. Mais il est connexe quand même.

Toujours vrai : connexe par arcs $\implies$ connexe.
Pas toujours vrai : connexe $\implies$ connexe par arcs. Contre-exemple : $\overline{G}$, qui est connexe mais pas connexe par arcs.

Pour montrer que $\overline G$ n'est pas connexe par arcs, on suppose avec JLT le contraire : on suppose qu'il existe un chemin continu, on note $f:[0,1]\to \overline{G}$, $t\mapsto f(t)=(x(t),y(t))$ tel que $x(0)=1$ et $x(1)=0$. On note $t_0=\min\{t>0\mid x(t)=0\}$. Pour tout $t<t_0$ on a $y(t)=\sin(1/x(t))$. Quand on fait tendre $t$ vers $t_0$ par valeurs inférieures, $x(t)$ tend vers $0$ donc $y(t)$ n'a pas de limite. Cela contredit la continuité de $y$ et donc de $f$. Cette contradiction montre que l'hypothèse, à savoir l'existence d'un chemin continu qui relie $(1,\sin1)$ et $(0,0)$, est fausse.

Juste pour essayer d'aider la "vision" de la chose, voilà un autre exemple:

$A$ est la réunion du cercle de rayon $\pi/2$ et d'origine $O$ de $\R^2$ et de l'image de la fonction $f$ définie sur $[1,+\infty[$ par $f(t)=(\arctan(t)\cos(t),\arctan(t)\sin(t))$


Edit: modifié suite à la remarque justifiée de Math Coss

Babacar, je me suis relu, c'est pour cela que j'ai corrigé (en 2 min) "supérieures" par "inférieures".

Le chemin part du point $(1,\sin1)$ ; en $t_0$, on a $x(t_0)=0$ et $t_0$ est minimal donc pour $t<t_0$, $x(t_0)>0$ et donc $y(t)=\sin(1/x(t))$. On veut donc bien faire tendre $t$ vers $t_0$ par valeurs inférieures.

PS : je suppose que Magnolia voulait écrire $\pi/2$ au lieu de $\pi/4$. Si c'est bien le cas, voici deux esquisses où le cercle est représenté en vert et l'arc sur les intervalles $[1,10]$ et $[1,30]$ : on voit la courbe tourner tant et plus et se rapprocher du cercle quand $t$ tend vers l'infini.

Comme quoi il faut toujours revenir aux définitions.

Tu viens d'exhiber une décomposition sous forme de réunion d'un ouvert et d'un fermé, où est la contradiction ?

Si tu parles de

babsgueye a écrit:

Proposition:
Tout espace topologique s' écrit comme la réunion disjointe de ses composantes connexes. Chaque composante connexe est fermée. S'il y a qu'un nombre fini de composantes connexes, alors chaque composante connexe est également ouverte.

Oui je l'ai lue. Je ne vois toujours pas de contradiction. Celle-ci ne dit pas qu'un ouvert et un fermé de cet espace topologique forment chacun une composante connexe, mais que chaque composante connexe est fermée, et ouverte si jamais celles-ci sont en nombre fini. Et $\overline G$, étant sa seule composante connexe, est bien sûr ouvert et fermé dans lui-même. Je ne vois toujours pas où tu veux en venir.

Prenons $X=\left]0,1\right]$. C'est la réunion disjointe de l'ouvert $\left]0,1/2\right[$ et du fermé $[1/2,1]$ : penses-tu que $X$ ait deux composantes connexes pour si peu ?