S'il vous plaît pourquoi un intervalle ouvert ne peut pas être compact, et l'intervalle fermé si. C'est quoi la différence pourquoi on peut extraire un sous-recouvrement fini pour l'intervalle fermé et pas pour l'intervalle ouvert ?
Il existe un intervalle ouvert compact : l'intervalle vide.
Un compact dans un espace séparé (et $\mathbb R$ est séparé) est nécessairement fermé. Dans le cas de $\mathbb R$, à un niveau Licence, le théorème de Bolzano-Weierstrass te dit ça.
Et les seuls intervalles ouverts qui sont aussi fermés sont l'intervalle vide et $\mathbb R$ tout entier ; mais ce dernier n'est pas borné.
Non, tu n'as pas compris. Un sous-ensemble de $\mathbb R$ qui n'est pas fermé ne peut pas être compact parce les compacts de $\mathbb R$ sont les sous-ensembles fermés et bornés.
Les ouverts $\left]\dfrac1n, 1\right[$ pour $n$ entier $>0$ recouvrent $]0,1[$. Peux-tu en extraire un sous-recouvrement fini ?
Supposons par l'absurde que l'on puisse extraire un sous-recouvrement fini de l'exemple de GaBuZoMeu. Alors il existe une partie finie $A$ de $\N$, qui possède donc un plus grand élément $N$, telle que $]0,1[=\bigcup_{n\in A} ]1/n,1[=]1/N,1[$, ce qui est absurde.
Non ce que dit Ga, c'est que dans un espace séparé (ce qui est le cas de tout espace métrique et en particulier de $\R$), un compact est toujours fermé.
Le Théorème de Borel-Lebesgue montre que les parties fermés bornés de $\R^n$ sont compactes. Une preuve du théorème de Borel-Lebesgue se trouve facilement sur internet ou dans un livre de topologie si tu en as un sous le main.
Maintenant prends l'intervalle $]0,1[$. On a $]0,1[=\cup_{n\in \N}]\frac{1}{n}, 1-\frac{1}{n}[$ : sais-tu prouver ça ? Est-ce que tu vois qu'on ne peut pas en extraire un sous-recouvrement fini ?
Le théorème de Borel-Lebesgue le dit et tu peux trouver sa preuve sur internet très facilement. Mais encore une fois, construit un recouvrement de $[0,1]$ et regarde ce qui se passe...
Plus sérieusement, il y a égalité si tu prends l'intersection. Mais nous, on veut une union! Avec des ouverts inclus dans l'intervalle (édit : attention, par exemple $[0,1/2[$ est ouvert dans $[0,1]$). Mais omega je ne comprends pas ce que tu veux lui faire faire.
@topo29 : Reprenons ton exemple. Tu écris $[0,1]=\bigcup_n ]-1/n, 1+1/n[$.
Déjà, c'est faux, on a seulement une inclusion : $[0,1]\subset \bigcup_n ]-1/n, 1+1/n[$ car pour tout $n\geq 1$, $-1/n$ et $1+1/n$ ne sont pas dans $[0,1]$.
Mais tu as bien trouvé un recouvrement de $[0,1]$ par des ouverts. Maintenant dans ce recouvrement, si tu prends l'intervalle $]-1/2, 1+1/2[$ tu as encore $[0,1]\subset ]-1/2, 1+1/2[$ autrement dit l'intervalle $]-1/2, 1+1/2[$ suffit à lui tout seul à recouvrir $[0,1]$ : tu as donc pu extraire de ton recouvrement initial un sous-recouvrement fini (en l'occurrence qui ne contient qu'un seul intervalle !) de $[0,1]$.
Si tu essayes de construire d'autres recouvrements de $[0,1]$ par une infinité d'intervalles, tu verras que tu peux toujours en extraire effectivement une partie finie qui suffit à recouvrir $[0,1]$.
@Boole : je crois que tu vois où je voulais en venir maintenant...
La définition de la compacité c'est "De tout recouvrement par des ouverts, on peut extraire un sous-recouvrement fini".
C'est une question de quantificateurs : là tu confonds un $\forall$ et un $\exists$. Ce n'est parce que tu trouve UN recouvrement ouvert fini que de tous les recouvrements possibles, tu vas toujours pouvoir en extraire un qui soit fini. On t'a donné pour $]0,1[$ deux exemples de recouvrements par des ouverts dont ne pouvait pas extraire de sous-recouvrement finis.
En revanche, pour $[0,1]$, quel que soit le recouvrement que tu prendras, tu pourras toujours en extraire un sous-recouvrement fini. Tu en as construit un, et on a vu tout de suite qu'on pouvait extraire un sous-recouvrement fini. Ce phénomène se reproduira pour tous les recouvrements que tu pourras trouver. Evidemment, tu ne peux pas tester tous les recouvrements possibles pour le vérifier, mais tu peux en tester un ou deux autres pour t'en convaincre.
Après, tu peux lire la preuve du théorème de Borel-Lebesgue qui montre que les fermés bornés de $\R$ (de $\R^n$ en fait) sont compacts. C'est ce théorème qui te permet d'affirmer que tout intervalle fermé borné est compact.
Encore une fois grillée par Boole... Faut que j'arrête de tergiverser quinze ans en rédigeant mes réponses, moi. Bon là-dessus, je vais vous laisser, je ne vais pas passer ma journée sur internet...
je crois que j'ai compris si on pose ]0,1[ =]1/N,1[ donc 1/N doit se rapprocher de 0 donc N doit etre le plus grand mais on a pas de plus grand nombre dans l'ensemble des nombres naturels
[Edit : je parlais évidemment de ce que gaBuZoMeu avait proposé.]
Tu prendrais le temps de réfléchir avant de questionner, tu éviterais des questions inutiles.
Ici, il suffit de bien regarder pour voir que les éléments du recouvrement sont emboités, donc que la réunion d'un nombre fini d'entre eux est le plus grand qui n'est pas ]0;1[. Pas besoin de N ou d'écriture mathématique : "ce qui se conçoit bien s'énonce clairement, et les mots pour le dire viennent aisément" (Nicolas Boileau)
Mais enfin totem29, tu ne vois pas que tu as écrit une intersection ? Il ne s'agit donc pas d'un recouvrement, d'autant plus que cette égalité est fausse avec une intersection, il est évident que $\bigcap_{n\geq1} ]1/n, 1[ = \emptyset$.
Réponses
Un compact dans un espace séparé (et $\mathbb R$ est séparé) est nécessairement fermé. Dans le cas de $\mathbb R$, à un niveau Licence, le théorème de Bolzano-Weierstrass te dit ça.
Et les seuls intervalles ouverts qui sont aussi fermés sont l'intervalle vide et $\mathbb R$ tout entier ; mais ce dernier n'est pas borné.
Les ouverts $\left]\dfrac1n, 1\right[$ pour $n$ entier $>0$ recouvrent $]0,1[$. Peux-tu en extraire un sous-recouvrement fini ?
Le Théorème de Borel-Lebesgue montre que les parties fermés bornés de $\R^n$ sont compactes. Une preuve du théorème de Borel-Lebesgue se trouve facilement sur internet ou dans un livre de topologie si tu en as un sous le main.
Maintenant prends l'intervalle $]0,1[$. On a $]0,1[=\cup_{n\in \N}]\frac{1}{n}, 1-\frac{1}{n}[$ : sais-tu prouver ça ? Est-ce que tu vois qu'on ne peut pas en extraire un sous-recouvrement fini ?
Si oui, essaye maintenant de construire un recouvrement de $[0,1]$ dont on ne puisse pas extraire un sous-recouvrement fini.
Déjà, c'est faux, on a seulement une inclusion : $[0,1]\subset \bigcup_n ]-1/n, 1+1/n[$ car pour tout $n\geq 1$, $-1/n$ et $1+1/n$ ne sont pas dans $[0,1]$.
Mais tu as bien trouvé un recouvrement de $[0,1]$ par des ouverts. Maintenant dans ce recouvrement, si tu prends l'intervalle $]-1/2, 1+1/2[$ tu as encore $[0,1]\subset ]-1/2, 1+1/2[$ autrement dit l'intervalle $]-1/2, 1+1/2[$ suffit à lui tout seul à recouvrir $[0,1]$ : tu as donc pu extraire de ton recouvrement initial un sous-recouvrement fini (en l'occurrence qui ne contient qu'un seul intervalle !) de $[0,1]$.
Si tu essayes de construire d'autres recouvrements de $[0,1]$ par une infinité d'intervalles, tu verras que tu peux toujours en extraire effectivement une partie finie qui suffit à recouvrir $[0,1]$.
@Boole : je crois que tu vois où je voulais en venir maintenant...
C'est une question de quantificateurs : là tu confonds un $\forall$ et un $\exists$. Ce n'est parce que tu trouve UN recouvrement ouvert fini que de tous les recouvrements possibles, tu vas toujours pouvoir en extraire un qui soit fini. On t'a donné pour $]0,1[$ deux exemples de recouvrements par des ouverts dont ne pouvait pas extraire de sous-recouvrement finis.
En revanche, pour $[0,1]$, quel que soit le recouvrement que tu prendras, tu pourras toujours en extraire un sous-recouvrement fini. Tu en as construit un, et on a vu tout de suite qu'on pouvait extraire un sous-recouvrement fini. Ce phénomène se reproduira pour tous les recouvrements que tu pourras trouver. Evidemment, tu ne peux pas tester tous les recouvrements possibles pour le vérifier, mais tu peux en tester un ou deux autres pour t'en convaincre.
Après, tu peux lire la preuve du théorème de Borel-Lebesgue qui montre que les fermés bornés de $\R$ (de $\R^n$ en fait) sont compacts. C'est ce théorème qui te permet d'affirmer que tout intervalle fermé borné est compact.
mais pourquoi N doit etre le plus grand element?
Tu prendrais le temps de réfléchir avant de questionner, tu éviterais des questions inutiles.
Ici, il suffit de bien regarder pour voir que les éléments du recouvrement sont emboités, donc que la réunion d'un nombre fini d'entre eux est le plus grand qui n'est pas ]0;1[. Pas besoin de N ou d'écriture mathématique : "ce qui se conçoit bien s'énonce clairement, et les mots pour le dire viennent aisément" (Nicolas Boileau)
Cordialement.
Boole et Bill t'a donné un exemple dans ce message : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,1705436,1705470#msg-1705470