Sous-variétés de même dimension

Avec la caractérisation par ouverts de cartes ça devrait aller non ?
J'appelle $d$ leur dimension
Si tu as une carte $\varphi$ adaptée à $A$ sur un ouvert $U$ de $B$ par définition de sous-variété de dimension $d$ $\varphi (U\cap A) = \mathbb{R}^d\cap \varphi(U) = \varphi(U)$. Comme $\varphi$ est bijective, $U=U\cap A$, et après tu recouvres $A$ par de tels ouverts

Bon ok j'écris tout bien. Je note $d$ la dimension de $A,B$ (et j'oublie que ce sont des sous-variétés de $\R^n$, je considère $B$ comme la variété ambiante). Je prends la définition de sous-variété suivante (qu'on peut trouver dans le cours de géométrie différentielle d'Olivier Biquard, ou encore ici, après la phrase "There is an intrinsic definition of an embedded submanifold which is often useful" ): si $M$ est une variété de dimension $n$, une sous-variété de dimension $d\leq n$ de $M$ est un sous-ensemble $N$ de $M$ tel que pour tout $p\in N$, on ait une carte $\varphi : U\to \R^n$ ($U$ ouvert !!) de l'atlas de $M$ telle que $p\in U$ et $\varphi (U\cap N) = \varphi (U)\cap E$, où $E$ est un sous-espace vectoriel de $\R^n$ de dimension $d$ (on peut même se restreindre à $\R^d\times \{0\}$).

Soit $x\in A$, on veut montrer qu'il y a un ouvert de $B$ contenant $x$ et inclus dans $A$. Bah on regarde la définition ci-dessus et on prend une carte $\varphi : U\to \R^d$ contenant $x$ telle que dans la définition. Sauf que bon, un sous-espace de dimension $d$ de $\R^d$, il y en a pas des masses : le $E$ est nécessairement $\R^d$; de sorte que $\varphi (U\cap A) = \varphi (U)\cap E= \varphi(U)\cap\R^d = \varphi(U)$ .

$\varphi$ étant une carte, elle est bijective, donc on en déduit que $U\cap A = U$, i.e. $U\subset A$: on a trouvé un ouvert $U$ inclus dans $A$ et contenant $x$; ceci quel que soit $x\in A$. Donc $A$ est ouvert dans $B$.

Poirot : Ah j'avais mal lu ! Désolé ! (C'est pour ça que je m'étais débarassé du $\R^n$)

Mojojo : c'est plutôt $\psi\circ\varphi^{-1}$, non ? Et l'image est ouverte parce que ce sont tous des homéos (et que les images de $U_x$ et $V_x$ par $\varphi, \psi$ sont des ouverts de $\R^d$), non ?

Effectivement c'est $\psi\circ \varphi^{-1}$ qu'il fallait lire, le but étant d'avoir une fonction allant (d'une partie) de $\mathbf R^d$ dans $\mathbf R^d$ pour pouvoir appliquer Brouwer. Dans le cas $C^1$ on procède exactement comme j'ai fais dans le cas $C^0$ puis, au moment d'appliquer Brouwer, on regarde la différentielle de $f$, on voit qu'elle est nécessairement inversible et donc que $f$ est ouverte.

Maxtimax : Je ne sais pas me passer de Brouwer dans ce que j'ai écrit. L'image de $f$ est $\psi(U_x\cap V_x)$ et $\psi$ est bien un homéo mais, avant d'avoir appliqué Brouwer, on ne sait pas encore que $U_x\cap V_x$ est ouvert dans $B$.