Courbe type Peano, f(a) intérieur à f([a,b])
Bonsoir
Existe-t-il $f: \mathbb R$ continue dans $\mathbb R^2$ et $a$ réel tels que pour tout $b>a$, $f(]a,b])$ soit un voisinage de $f(a)$ ? (1)
Ce qui m’intéresse est le cas des fonctions qui envoient tout intervalle sur un convexe (2) (problème semble-t-il ouvert). Si (2) existe alors (1) aussi. Je me demande si c'est facile (voire "banal" pour des courbes qui remplissent le plan) de trouver une $f$ vérifiant (1) ou si c'est d'une difficulté plus ou moins équivalente au problème (2). Évidemment si ça n'existe pas, (2) est résolu
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Existe-t-il $f: \mathbb R$ continue dans $\mathbb R^2$ et $a$ réel tels que pour tout $b>a$, $f(]a,b])$ soit un voisinage de $f(a)$ ? (1)
Ce qui m’intéresse est le cas des fonctions qui envoient tout intervalle sur un convexe (2) (problème semble-t-il ouvert). Si (2) existe alors (1) aussi. Je me demande si c'est facile (voire "banal" pour des courbes qui remplissent le plan) de trouver une $f$ vérifiant (1) ou si c'est d'une difficulté plus ou moins équivalente au problème (2). Évidemment si ça n'existe pas, (2) est résolu
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Cordialement.
AD
Pour le (1), si $f$ est une fonction continue, pour que $f([a, b])$ soit voisinage de $f(a)$, il suffira que $\lim\limits_{x\to b}f(x) = a$.
Est ce qu'on peut trouver une telle fonction $f$, je le pense bien.
Cordialement.
Seul un matheux peut écrire ça ;-):-DB-)
Désolé AD je ne savais pas que c'était toi, je pensais que chaque catégorie avait son AD(ministrateur), j'espère que ça n'entache pas la qualité de nos rapports, d'une cordialité,qui, en ce qui me concerne jouxte la sympathie, je n'ai pas peur de le dire!
Mais là tu poses une question qui mérite qu'on ferme ce fil. C'est pas matheux.
$f$ étant continue et bien définie en $b$, il faudra que $f(a) = f(b).$
Lesmathpointclair : je ne suis pas sûr de saisir ta question avec les convexes. Par contre pour ta question 1) la réponse est oui. Pour un tel $f$ tu peux prendre une courbe qui fait le chemin entre le point $(1/2;1/2)$ et $(0;0)$ puis tu rajoutes une courbes de Peano remplissant le carré $[0;1]^2$.
Explique ta proposition !
Le problème 2 est de trouver une fonction de $R$ dans $R^2$ qui envoie tout intervalle sur un convexe d'intérieur non vide (On sait qu'il existe des fonction $f$ telles que $f([0,t])$ est convexe d’intérieur non vide.)
Intuitivement pour moi, ça c'est du charabia, d'autant plus que je pense que la courbe de Peano dont tu parles est ni fermée, ni ouverte dans $[0, 1]^2$
Pourais -tu me recopier une démonstration ?
Lesmathspointclaires : J'ai l'impression que tu as aussi changé $f([a;b])$ en $f(]a;b])$, c'est voulu ? En tout cas la réponse est toujours oui. Prenons une fonction continue $g : [0;1]\to C=[-1;1]^2$ telle que $g(0)=g(1)=(0,0)$ et $g([0;1])=C$. On définit alors la fonction $f$ par $f(0)=f(1)=0$ et sur l'intervalle $[1/2^{n+1};1/2^n[$ on pose
$$
f(x)=\frac{1}{2^n}g\left(2^{n+1}\left(x-\frac{1}{2^{n+1}}\right)\right).
$$
De cette façon $f([1/2^{n+1};1/2^n[)=C/2^n$ est un voisinage de $0$ donc $f([0;\varepsilon[) $ est un voisinage de $0$ pour tout $\varepsilon$. De plus $f$ est bien continue sur $]0;1]$ par définition est elle est aussi continue en $0$ puisque $x\leq 1/2^n \implies |f(x)|\leq 1/2^n$.
@Poirot je demande une démonstration plus formelle comme vous avez l'habitude de le faire, par exemple sur le fil de ma preuve de l'hypothèse de Riemann que tu as fini par fermer avant l'heure.
Si tu veux des infos sur les courbes de Peano commence par lire au moins un de ces deux livres :
Space-Filling Curves de Michael Bader chez Springer (2013)
Space-Filling Curves de Hans Sagan chez Springer-Verlag (1994)
Tu trouveras dans ces deux livres non seulement les courbes de Peano, mais aussi de Sierpinski, Hilbert, Lebesgue, Schoenberg dans le plan R2 et dans l'espace R3.
Le livre de Hans Sagan est plus orienté maths, celui de Bader c'est plus orienté informatique.