Connexité et application constante

C'est assez clair : pour montrer qu'une partie $F$ de $E$ est constante, il faut se donner une application $g:F\to\{a,b\}$ et montrer qu'elle est constante. Qu'est-ce qui te laisse supposer que c'est la restriction d'une application définie sur $E$ entier ?

Exemple : $E=\R$ est bravement connexe ; $F=[0,1]\cup[3,4]$ ne l'est visiblement pas. Définissons $g:F\to\{1/2,7/2\}$ par : $g(x)=1/2$ si $x\in[0,1]$ et $g(x)=7/2$ si $x\in[3,4]$. On vérifie facilement qu'elle est continue. Comment voudrais-tu prolonger $g$ en $f:\R\to\{1/2,7/2\}$ continue ?

Ecris-nous proprement ton raisonnement, et on t'aidera à chercher où ça coince.