Connexité et application constante
Bonjour, on a cette propriété.
$E$ est connexe si et seulement si toute application continue $ f: E\to (\{a ,b \},\mathcal{P}(\{a ,b\})$ est constante.
Si $f$ est constante sur tout $E$ alors elle reste constante sur toute partie de $E $, donc tout sous-ensemble d'un espace connexe est connexe mais ceci n'est pas toujours vrai.
Pouvez-vous me dire ou se trouve le probleme dans la restriction ?
Merci.
$E$ est connexe si et seulement si toute application continue $ f: E\to (\{a ,b \},\mathcal{P}(\{a ,b\})$ est constante.
Si $f$ est constante sur tout $E$ alors elle reste constante sur toute partie de $E $, donc tout sous-ensemble d'un espace connexe est connexe mais ceci n'est pas toujours vrai.
Pouvez-vous me dire ou se trouve le probleme dans la restriction ?
Merci.
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Réponses
Exemple : $E=\R$ est bravement connexe ; $F=[0,1]\cup[3,4]$ ne l'est visiblement pas. Définissons $g:F\to\{1/2,7/2\}$ par : $g(x)=1/2$ si $x\in[0,1]$ et $g(x)=7/2$ si $x\in[3,4]$. On vérifie facilement qu'elle est continue. Comment voudrais-tu prolonger $g$ en $f:\R\to\{1/2,7/2\}$ continue ?
"Pour toute application continue de $F$ dans $X$"
ne veut pas dire
"Pour toute application qui est restriction à $F$ d'une application continue de $E$ dans $X$."
Ça a pourtant déjà été expliqué par Math Coss.
Soit $A$ un sous-ensemble de $E$, comme $f$ est constante sur $E$, elle est constante sur $A$, donc $A$ est connexe.
Merci.
As-tu remarqué le quantificateur universel dans "toute application continue ... "