Contre-exemple pour espace non complet

Il y en a ?

Dans $\R$, la norme est la valeur absolue et $\lim_{x\to-\infty}|x|=+\infty$ ; pourtant $\R$ est complet. Que veux-tu dire ?

Quelque part dans ma tête, il y a un refrain : toute limite uniforme de fonctions continues est continue.

Et si tu essayais de le démontrer ?

Quelque chose vous a visiblement échappé : cette "norme" n'est pas bien définie sur l'espace en question...

Donc en effet, cet espace n'est pas complet car même pas métrique ! Si on se restreint à l'espace des fonctions continues bornées, alors là on obtient bien un espace complet.

Ah ! Tiens, en effet, je n'ai pas fait attention qu'il y avait $\R$ au départ, ce n'est pas très sérieux. C'est donc ça que topo29 voulait dire par « la norme peut tendre vers l'infini » ? En effet, la « norme » peut être infinie, et pour cette raison, ce n'est pas une norme. L'exemple de l'exponentielle est un argument solide.

PS : on peut considérer les fonctions définies sur $\R$ et bornées, ou bien restreindre l'ensemble de départ à un segment (ce qui entraîne que les fonctions sont bornées), cela donne un espace métrique complet aussi.

Avant tout, une norme doit être à valeurs réelles. Or, comme tu l'as noté, l'exponentielle n'est pas bornée donc $\|\exp\|_\infty$ n'est pas définie.

Oui, c'est le premier point : ce n'est pas une norme. C'est insurmontable en l'état. Pour que $\|\cdot\|_\infty$ soit bien définie pour tous les éléments de l'espace, il faut donc considérer l'espace des fonctions continues bornées, comme l'a dit Poirot, ou (ce qui est encore plus restrictif) considérer l'espace des fonctions continues sur un segment fixé.