Quelque chose vous a visiblement échappé : cette "norme" n'est pas bien définie sur l'espace en question...
Donc en effet, cet espace n'est pas complet car même pas métrique ! Si on se restreint à l'espace des fonctions continues bornées, alors là on obtient bien un espace complet.
@Plutôt, en classe le prof nous a dit qu'il est de Banach, je veux construire un contre exemple solide, j'ai essayé de parler je n'ai pas pu convaincre.
Ah ! Tiens, en effet, je n'ai pas fait attention qu'il y avait $\R$ au départ, ce n'est pas très sérieux. C'est donc ça que topo29 voulait dire par « la norme peut tendre vers l'infini » ? En effet, la « norme » peut être infinie, et pour cette raison, ce n'est pas une norme. L'exemple de l'exponentielle est un argument solide.
PS : on peut considérer les fonctions définies sur $\R$ et bornées, ou bien restreindre l'ensemble de départ à un segment (ce qui entraîne que les fonctions sont bornées), cela donne un espace métrique complet aussi.
Oui, c'est le premier point : ce n'est pas une norme. C'est insurmontable en l'état. Pour que $\|\cdot\|_\infty$ soit bien définie pour tous les éléments de l'espace, il faut donc considérer l'espace des fonctions continues bornées, comme l'a dit Poirot, ou (ce qui est encore plus restrictif) considérer l'espace des fonctions continues sur un segment fixé.
Réponses
Et si tu essayais de le démontrer ?
Donc en effet, cet espace n'est pas complet car même pas métrique ! Si on se restreint à l'espace des fonctions continues bornées, alors là on obtient bien un espace complet.
PS : on peut considérer les fonctions définies sur $\R$ et bornées, ou bien restreindre l'ensemble de départ à un segment (ce qui entraîne que les fonctions sont bornées), cela donne un espace métrique complet aussi.