Espace de Banach
Bonjour
Notre prof nous a dit de prouver que l'ensemble des fonctions continues sur $[-1,1]$ à valeur dans $\R$ est un espace de Banach.
la preuve est :
Soit $(f_n)_n$ est une suite de [large]C[/large]auchy et par des calculs on a trouvé que $|f_n(x)-f_m(y)|< \epsilon $ $f_n$ est une suite dans $\R$ donc la suite est convergente vers $f(x)$ ''c'est dans $\R$ pas dans $E$ !!"
Puis on a montré que $f$ est continue
Est-ce que ça remplace ''toute suite de [large]C[/large]auchy de $E$ est convergente dans $E$'' ?
Merci de votre aide.
[En toute occasion, Augustin Cauchy (1789-1857) prend toujours une majuscule. AD]
Notre prof nous a dit de prouver que l'ensemble des fonctions continues sur $[-1,1]$ à valeur dans $\R$ est un espace de Banach.
la preuve est :
Soit $(f_n)_n$ est une suite de [large]C[/large]auchy et par des calculs on a trouvé que $|f_n(x)-f_m(y)|< \epsilon $ $f_n$ est une suite dans $\R$ donc la suite est convergente vers $f(x)$ ''c'est dans $\R$ pas dans $E$ !!"
Puis on a montré que $f$ est continue
Est-ce que ça remplace ''toute suite de [large]C[/large]auchy de $E$ est convergente dans $E$'' ?
Merci de votre aide.
[En toute occasion, Augustin Cauchy (1789-1857) prend toujours une majuscule. AD]
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Qui est E ?
La démonstration passe par la complétude de $\mathbb R$. Si $(f_n)_n$ est une suite de Cauchy dans $E$, on montre facilement que pour tout $x \in [-1, 1]$, la suite de nombres réels $(f_n(x))_n$ est une suite de Cauchy (dans $\mathbb R$), ce qui permet d'affirmer, par complétude de $\mathbb R$, que celle-ci converge vers une limite, que l'on note $f(x)$.
On a ainsi défini une fonction $f$ sur $[-1, 1]$. Il y a alors encore deux étapes : montrer que $f$ est continue sur $[-1, 1]$ (pour pouvoir affirmer que $f \in E$) et montrer qu'il y a bien convergence dans $E$ de la suite $(f_n)_n$ vers $f$, c'est-à-dire qu'il y a convergence uniforme sur $[-1, 1]$ (a priori on sait seulement qu'il y a convergence simple, mais la "cauchytude" de $(f_n)_n$ va nous aider).
Donc si on a une suite $(f_n)_n$ de Cauchy dans $E$ , on peut montrer qu'elle est convergence par le passage de $\mathbb{R}$ ?
Mais justement, si $(f_n)_n$ converge uniformément vers une fonction $g$, on sait qu'elle converge simplement vers $g$, et on sait qu'il y a unicité de la limite. Donc le "passage par $\mathbb{R}$" nous a en fait donné le seul candidat possible pour la limite uniforme des $(f_n)_n$, qui est cette fonction $f$ limite simple des $(f_n)_n$. C'est clair jusque-là ?
Maintenant, pour montrer que la suite des $(f_n)_n$ converge dans $E$, il n'y a plus qu'à montrer qu'elle converge uniformément vers cette fonction $f$ (auparavant, on aurait dû montrer qu'il existe une fonction $g$ telle que $(f_n)_n$ converge uniformément vers $g$. La recherche de la limite simple a résolu cette partie "existence"... montrer qu'un truc existe, c'est souvent très difficile). Avec le fait que $(f_n)_n$ est de Cauchy, on a pas mal d'outils pour y arriver !