Banach et EDO
Bonjour a tous,
Sur l'ev $E =\{f \in \mathcal{C}^1([0,1],\mathbb{R})| f(0)=0\}$, l'application $N(f)=\sup_{x\in[0,1]}|f'(x)-f(x)|$ est une norme.
L'evn ainsi obtenu est un Banach (on peut même montrer que $N$ est équivalente a $||f'||_{\infty}$) (sauf faute grossière de ma part
)
Bon...
Je me demande alors :
1. A priori les mêmes arguments permettent de conclure que $||f'+hf||_{\infty}$ avec $h$ continue est une norme sur $E$ qui est équivalente à $||f'||_{\infty}$.
2.Que se passe t'il maintenant si je me place sur $E =\{f \in \mathcal{C}^2([0,1],\mathbb{R})| f(0)=0, f'(0)=0\}$ et on considère $||f''+gf'+hf||_{\infty}$
Banach? norme équivalente a $||f''||_{\infty}$?
Une EDO linéaire d'ordre n?
Le cadre non linéaire ?
3. Qu'est ce que ces résultats nous apprennent sur la dépendance de la solution des EDO des paramètres?
(sujet que je trouve intéressant mais dont je ne suis pas arrive a trouver des PDF dessus sur le net)
Je n’espère pas forcement obtenir des réponses à toutes les questions mais même vos réactions, des références ect...
En espérant que vous trouviez ça intéressant !
Cordialement
EDIT: tout ça ne serait pas une histoire de continuité d'applications linéaires ??
Sur l'ev $E =\{f \in \mathcal{C}^1([0,1],\mathbb{R})| f(0)=0\}$, l'application $N(f)=\sup_{x\in[0,1]}|f'(x)-f(x)|$ est une norme.
L'evn ainsi obtenu est un Banach (on peut même montrer que $N$ est équivalente a $||f'||_{\infty}$) (sauf faute grossière de ma part
)Bon...
Je me demande alors :
1. A priori les mêmes arguments permettent de conclure que $||f'+hf||_{\infty}$ avec $h$ continue est une norme sur $E$ qui est équivalente à $||f'||_{\infty}$.
2.Que se passe t'il maintenant si je me place sur $E =\{f \in \mathcal{C}^2([0,1],\mathbb{R})| f(0)=0, f'(0)=0\}$ et on considère $||f''+gf'+hf||_{\infty}$
Banach? norme équivalente a $||f''||_{\infty}$?
Une EDO linéaire d'ordre n?
Le cadre non linéaire ?
3. Qu'est ce que ces résultats nous apprennent sur la dépendance de la solution des EDO des paramètres?
(sujet que je trouve intéressant mais dont je ne suis pas arrive a trouver des PDF dessus sur le net)
Je n’espère pas forcement obtenir des réponses à toutes les questions mais même vos réactions, des références ect...
En espérant que vous trouviez ça intéressant !
Cordialement
EDIT: tout ça ne serait pas une histoire de continuité d'applications linéaires ??
Réponses
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Pas d'âme charitable en ce jeudi soir ?
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-Tu peux chercher "formule de Duhamel". Pour des EDO (et plus généralement les EDP) à coefficients constants les solutions avec second membre sont des convolées du second membre et d'une solution dite fondamentale de l'équation homogène.
-Si tu veux chercher la régularité des solutions en fonctions des conditions initiales, il y a la notion de "flot" (tu peux y apprendre une variante du théorème de point fixe de Banach-Picard à paramètres entre autres).
-Dans les exemples que tu donnes, ce qui est sous-jacent est plutôt l'inversibilité de certains opérateurs différentiels sur certains sous-espaces (le fameux "domaine" des opérateurs non bornés).
Là, je parle d'EDP :
-Pour les équations non linéaires (il y a très peu de résultats théoriques qui ne sont pas assez bons en pratique) et en gros, tu peux te brosser car n'exploitent pas en règle générale la spécificité des équations à traiter (techniques de scaling d'énergie, conversation des moments, groupes de transformations préservant l'équation).
-Pour les équations semi-linéaires, il y a des techniques d'analyse fonctionnelle (et d'analyse harmonique) mais dépendent du type d'équations que tu veux traiter (parabolique, hyperbolique...). Tout ça pour établir des "inégalités d'énergie" qui permettent d'appliquer l'itération de Banach-Picard pour prouver l'existence des solutions.
Il n'y a pas de réponses unifiées, je dirais!
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