Union d'ensemble connexe

Bonjour.

1) tu confonds $\in$ et $\subset$. Grave, en topologie.
2) que veut dire "famille croissante" ?

Cordialement.

Heu ... c'est quoi ton $I$ ? Car à priori, il n'y a pas de +1 dans un ensemble quelconque (d'indices).

Pour la faute de LaTeX, je te rappelle que tu as un aperçu pour voir ce que tu as écrit avant d'envoyer.

Si I est un intervalle de $\mathbb N$, ou $\mathbb N$ lui-même, je te rappelle la technique dite "récurrence". Pour un ensemble d'indices autres, il faut voir ...et redéfinir la notion de croissance.

Cordialement.

$\mathbb R$ est un ensemble d'indices, mais après un indice, il n'y a pas de suivant, et entre n et n+1 il y a une infinité d'indices.
$\displaystyle \bigcup\limits_{n\in \mathbb R^{*+}} ]-\infty, -\frac 1 n]$ est une union croissante de convexes. Traites-tu des cas de ce genre ?

Tu as un énoncé précis ?

Beaucoup plus simple (si on suppose que l'ensemble d'indice est bien ordonné, disons $\mathbb N$) : on part comme tu l'as dit avec $U$ et $V$ ouverts disjoints de $A$ tels que $A = U \cup V$. Alors par connexité de chaque $A_i$, on a pour tout $i \in \mathbb N$, $A_i \subset U$ ou $A_i \subset V$. Disons que $A_0 \subset U$. Alors $A_1 \subset U$ car si $A_1 \subset V$, on aurait $A_0 \subset V$ par croissance, absurde car $U$ et $V$ sont disjoints et $A_0 \subset U$. Par récurrence on obtient facilement que $A \subset U$.