Inégalité d'une norme

naforito · September 2018

Bonjour

Soient $a,b$ deux réels strictement positifs, on considère la norme suivante $$N(x,y)= \sqrt{a^2 x^2 +b^2 y^2}.$$ La question est de trouver le plus petit réel $p>0$ tel que $N(x,y) \leq p||(x,y)||_2$

Par une observation, on peut conclure que $N(x,y) \leq \max(a,b)||(x,y)||_2$
Mais notre prof a ajouté un cas particulier JE NE SAIS PAS POURQUOI ?
"$N(0,1)=b$ et $||(0,1)||_2=1$ avec $a \leq b$ donc $N(0,1)=b ||(0,1)||_2 =\max(a;b) ||(0,1)||_2$''

Je ne sais pas l'importance du cas particulier.
Merci pour votre soutien.

Ramufasa · September 2018

Par ton observation tu as obtenu une inégalité intéressante qui te permet de dire que le plus petit p>0 tq... est inférieur ou égal à max(a,b).
Maintenant, la remarque de ton prof te donne un cas d'égalité qui te permet de conclure que ce plus petit p est en fait égal à max(a,b) !

babsgueye · September 2018

Salut.
La majoration en est certes une, mais qu'on peut trouver grossière.
Pour ta question, un cas particulier comme le nom l'indique est un cas qui découle tout simplement du cas général (peut-être une illustration pour vous qui permet de mieux voir ce qui se passe).

Un début de raisonnement serait de dire: $p\geq \dfrac{N(x, y)}{||(x, y)||_2}$ et minimiser la fonction $f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$ définie par: $(x, y)\rightarrow\dfrac{N(x, y)}{||(x, y)||_2}$.

P. · September 2018

Le bon reflexe est de consider une matrice $A$ definie positive de valeurs propres $a_1\geq a_2\ldots\geq a_n>0.$ et de se demander pourquoi pour tout $x$ de $\R^n$ euclidien canonique on a $\langle x,Ax\rangle\leq a_1\|x\|^2.$

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