Théorème des valeurs extrêmes
On trouve à de nombreux endroits l'énoncé suivant: Soit $E$ un compact et $f: E \to \mathbb{R}$ une fonction continue. Alors $f$ est bornée et il existe $c, d \in E$ tels que $f(c) = \sup_{x \in E} f(x)$ et $f(d) = \inf_{x \in E} f(x)$.
Par exemple : Wikipedia
Ou bien : le livre de Munkres (page 174).
Je m'étonnais de ne trouver nulle part l'énoncé plus faible suivant : Soit $E$ un compact non vide et $f: E \to \mathbb{R}$ une fonction continue. Alors $f$ est bornée et il existe $c, d \in E$ tels que $f(c) = \sup_{x \in E} f(x)$ et $f(d) = \inf_{x \in E} f(x)$.
Or, dans ce cours, page 76, on trouve cette preuve : "Si $f$ est continue et $E$ compact alors $f(E)$ est une partie compacte de $\mathbb{R}$. On en déduit que $f(E)$ est non vide, fermée et bornée dans $\mathbb{R}$." Comment en déduit-on que $f(E)$ est non-vide? Pourquoi cela ne contredit-il pas "toute partie finie d'un espace séparé est compacte" (page 74)?
N.B. : Je suis conscient que "compact" a une signification différente chez Munkres et Wikipedia en anglais, d'une part, et dans le cours que j'ai cité, d'autre part - dans ce dernier, compact implique séparé.
Par exemple : Wikipedia
Ou bien : le livre de Munkres (page 174).
Je m'étonnais de ne trouver nulle part l'énoncé plus faible suivant : Soit $E$ un compact non vide et $f: E \to \mathbb{R}$ une fonction continue. Alors $f$ est bornée et il existe $c, d \in E$ tels que $f(c) = \sup_{x \in E} f(x)$ et $f(d) = \inf_{x \in E} f(x)$.
Or, dans ce cours, page 76, on trouve cette preuve : "Si $f$ est continue et $E$ compact alors $f(E)$ est une partie compacte de $\mathbb{R}$. On en déduit que $f(E)$ est non vide, fermée et bornée dans $\mathbb{R}$." Comment en déduit-on que $f(E)$ est non-vide? Pourquoi cela ne contredit-il pas "toute partie finie d'un espace séparé est compacte" (page 74)?
N.B. : Je suis conscient que "compact" a une signification différente chez Munkres et Wikipedia en anglais, d'une part, et dans le cours que j'ai cité, d'autre part - dans ce dernier, compact implique séparé.
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Réponses
Non. Où aurais-je écrit cela?!
C'est justement ma remarque, et ce n'est pas mon théorème, c'est l'énoncé que j'ai trouvé à de nombreux endroits. Mon théorème suppose justement que $E$ est non-vide.
Si tu voulais juste dire que compact implique non-vide, dis-le explicitement, parce que c'est là le problème : je ne vois pas pourquoi compact impliquerait non-vide.