Homéomorphismes et frontière

Phare
Phare
dans Topologie
Bonjour
Aidez un topologue en détresse(:P)

Comment prouvez-vous de manière élémentaire que $\mathbb{C}^*$ n'est pas homéomorphe à $\{z\in\mathbb{C} \mid |z|\geq 1\}$.

Et en dimension supérieure ?

Cordialement.

Réponses

  • babsgueye
    babsgueye
    Salut.

    En utilisant leurs complémentaires peut-être.
  • Georges Abitbol
    Georges Abitbol
    Mmmmh, si on admet qu'un plongement du cercle dans le plan le déconnecte, alors c'est facile : le cercle frontière du deuxième ne le déconnecte pas, tandis que le plan épointé est toujours déconnecté par un cercle plongé.

    Sinon, on peut peut-être voir élémentairement que leurs compactifiés d'Alexandrov ne sont pas homéomorphes : le premier est une "sphère pincée" (une sphère avec deux points collés) alors que le deuxième est un cornet de glace.

    Quand tu dis "de manière élémentaire", tu ne veux ni groupe fondamental, ni homotopie ?
  • Phare
    Phare
    @Georges abitbol
    Merci pour les réponses
    Je pensais effectivement au théorème de Jordan.
    On peut aussi considerer les deux frontières.
    J'aime beaucoup le raisonnemt par compactication que tu as proposé.
    Pour ma définition de élémentaire, oui je préferais éviter l'utilisation du groupe fondamental.

    Mais bon au final la question n'est peut-être pas très "challenging".

    @baby
    Je ne connais pas cette technique, peux-tu m'en dire plus?

    Cordialement.
  • Seirios
    Seirios
    On peut aussi regarder le nombre de bouts topologiques. Le premier espace a deux bouts alors que le second n'en a qu'un. Cela dit, l'argument est assez proche du cercle qui sépare.
  • babsgueye
    babsgueye
    Je pense que si c'était le cas, leurs complémentaires dans $\mathbb{C}$ doivent aussi être homéomorphes. Ce qui n'est pas le cas.
  • Poirot
    Poirot
    @babsgueye : attention à ne pas penser qu'un homéomorphisme entre $\mathbb C^*$ et $\mathbb C \setminus B(0, 1)$ est forcément la restriction d'un homéomorphisme de $\mathbb C$ dans lui-même.

    Par exemple $\mathbb R^*$ est trivialement homéomorphe à $]-\infty, -1[ \cup ]1, +\infty[$ bien que leurs complémentaires dans $\mathbb R$ ne le soient pas.
  • Georges Abitbol
    Georges Abitbol
    Je développe la réponse de Seirios : pour tout compact $K_1$ de $Y := \mathbb{C} \setminus B(0,1)$, il existe un compact $K_2$ tel que $K_1 \subset K_2$ et $Y \setminus K_2$ est connexe. En effet, il suffit de choisir pour $K_2 := (\mathbb{C}\setminus B(0,1)) \cap \overline{B}(0,n)$ pour un $n$ assez grand.

    Par contre, il n'existe pas de compact $K$ tel que $\mathbb{S}^1 \subset K \subset \mathbb{C}^*$ et $\mathbb{C}^* \setminus K$ est connexe. En effet, soit $K$ un compact tel que $\mathbb{S}^1 \subset K \subset \mathbb{C}^*$, et soit $f$ la fonction "signe-du-module". $f$ est continue sur $\mathbb{C} \setminus \mathbb{S}^1$ et est à valeur dans $\{\pm 1\}$. De plus, il existe $n$ tel que $K \subset B(0,n)\setminus B(0,\frac{1}{n})$. En particulier, sur $\mathbb{C}^* \setminus K$, $f$ n'est pas constante. Donc $\mathbb{C}^* \setminus K$ n'est pas connexe.

    EDIT : J'avais oublié un "$".
  • AD
    AD
    Bonjour
    Si $\mathbb C^*$ et $A=\{z\in\mathbb C\mid |z|\geq 1\}$ étaient homéomorphes, $A$, qui est fermé dans $\mathbb C$, serait aussi ouvert (de ${\color{red}A}$ et pas nécessairement de ${\color{red}{\mathbb C}}$) comme image homéomorphe de $\mathbb C^*$ ouvert.
    Alors $\mathbb C$ serait réunion disjointe des deux ouverts non vides $ \complement A$ et $A$. Ce qui n'est pas possible car $\mathbb C$ est connexe.

    Alain

    Edit. Ça ne marche pas, corrections en rouge. Merci Poirot. Alain.
  • babsgueye
    babsgueye
    Poirot a écrit:
    Par exemple $\mathbb{R}^*$ est trivialement homéomorphe à $]-\infty, -1[\cup]1, +\infty[$ bien que leurs complémentaires dans $\mathbb{R}$ ne le soient pas.

    Tu peux développer un peu ?
  • Poirot
    Poirot
    @AD : attention, ce n'est pas parce qu'une partie fermée d'un espace topologique est homéomorphe à une partie ouverte de ce même espace que cette partie est ouverte. Exemple : dans $E = \{a, b\}$ muni de la topologie $\{\emptyset, \{a\}, E\}$, $\{a\}$ est homéomorphe à $\{b\}$, $\{a\}$ est ouvert mais $\{b\}$ ne l'est pas. C'est ce que je disais au-dessus à babsgueye, un homéomorphisme entre les deux n'a aucune raison d'être la restriction d'un homéomorphisme de l'espace ambiant.

    @babsgueye : si tu veux. L'application $x \mapsto x+1$ si $x > 0$ et $x-1$ si $x<0$ est un homéomorphisme entre $\mathbb R^*$ et $]-\infty, -1[\cup]1, +\infty[$, mais leurs complémentaires $\{0\}$ et $[-1, 1]$ ne sont bien sûr pas homéomorphes.
  • AD
    AD
    @Poirot
    En effet, ma démo ne marche pas du tout. Je corrige ci-dessus.
    Merci.
    Alain
  • babsgueye
    babsgueye
    @AD je pense que ta correction ne tient toujours pas comme preuve. La réunion de deux parties quelconques disjointes n’empêche la connexité de $\mathbb{C}$.

    Merci @Poirot.
  • AD
    AD
    @Babsgueye
    Bien sûr ma preuve ne marche pas, je l'ai écrit. Mes "corrections" ne sont là que pour éviter d'écrire des choses fausses, mais elles ne mènent pas à une preuve.
    Alain
  • Phare
    Phare
    Merci à tous!

    Merci spécialement à Seirios (pour cette nouvelle notion) et à Georges pour ces explications.
    Et merci à AD, c'est mon deuxième fil où il intervient personnellement (je deviens célèbre je crois (:P) )

    Bien cordialement
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